Equações trigonométricas em seno ou cosseno: conceitos iniciais

São equações trigonométricas em seno ou cosseno uma equação do tipo sen x = k(ou cos x = k). Para solucioná-la devemos obter o conjunto de valores que atribuídos à variável x tornem verdadeira a sentença sen x = k(ou cos x = k).
Existem alguns métodos para solucionar esse tipo de equação. Veremos a seguir os principais deles.

Métodos para equações trigonométricas em seno ou cosseno

Para solucionar as equações trigonométricas em seno ou coseno podemos fazer uso de alguns métodos, dentre eles: por simetria, por
simetria e forma fatorada e equações polinomiais.

Tabela de arcos notáveis

Antes de iniciarmos os estudos sobre os métodos de resolução é necessário mostrarmos os valores de senos e cossenos dos arcos notáveis.

Método da Simetria

Para revolvermos as equações trigonométricas em seno ou cosseno por simetria, devemos identificar a partir do valor do seno ou do cosseno da equação qual o ângulo ele corresponde. Para isso, devemos fazer uso das tabelas de valores dos arcos notáveis.

Exemplo I – Resolva a equação sen x = 1/2, para 0 ≤ x ≤ 2π
Resolução
Através da tabela de arcos notáveis, devemos identificar qual ângulo corresponde o seno de valor 1/2. Tal ângulo é o π/6.
Através do estudo da circunferência trigonométrica, percebemos que o valor do seno fica no eixo y. Os valores positivos dos senos ficam nos quadrantes I e II. Como π/6 fica no primeiro quadrante, precisamos saber o valor do arco no segundo quadrante. Para isso devemos diminuir π/6 de π.

Assim, teremos:
π – π/6 = (6π-π)/6 = 5π/6

Logo, os valores de x para os quais o seno é 1/2 são π/6 e 5π/6.

Exemplo II – Resolva a equação sen x = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π
Resolução

O único arco no qual o seno tem o valor de 1 é o de 90º(π/2).

Assim, x será π/2.

Método da por Simetria e Forma Fatorada

Esse método é semelhante ao da simetria, porém devemos tratar a equação colocando alguns termos em evidência. Em seguida demos aplicar a propriedade do produto nulo, onde um dos termos da fatoração deverá ser igual a zero.

Exemplo I – Resolver a equação 2cos x sen x – sen x = 0, para 0 ≤ x ≤ 2π.
Resolução
Colocar o termo comum aos dois fatores em evidência, no caso sen x.
2cos x sen x – sen x = 0
(sen x)(2cos x – 1) = 0

Aplicar a propriedade do produto nulo
I) sen x = 0
Os valores de x para os quais o seno é zero são 0 ou π.

ou

II) 2cos x – 1 = 0
2cos x – 1 = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2

Os valores de x para os quais o cosseno é 1/2 são π/3 ou 5π/3.

Método das Equações Polinomiais

O método equações polinomiais consiste em utilizar mudança de variável para sua resolução.

Exemplo I – Resolver a Equação 2 sen² x + sen x – 1 = 0, para 0 ≤ x ≤ 2π.

Resolução
Faremos sen x = t. Substituindo:
2 t²  + t – 1 = 0

Aplicando as técnicas de equação de segundo grau para resolução, teremos
t = 1/2 ou t = -1.

I) sen x = 1/2
Para o seno ter o valor de 1/2, x deverá ser π/6 ou 5π/6.

II) sen x = -1
Para o seno ter o valor de -1, x deverá ser 3π/2.

Portanto o conjunto solução terá os valores π/6, 5π/6 e 3π/2.

Conclusão

Estudamos as equações trigonométricas em seno ou cosseno. Vimos a a tabela de arcos notáveis e os principais métodos para resolução.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna