Sistema Trigonométrico: Analisando a Circunferência Trigonométrica

Convenções sobre a Circunferência Trigonométrica

Em um Sistema Trigonométrico é fundamental conhecermos algumas convenções acerca da Circunferência Trigonométrica. Primeiramente devemos considerar uma circunferência com raio de uma unidade(r=1), na qual o centro coincide com a origem em um sistema cartesiano ortogonal.

A estrutura mostrada anteriormente é chamada, por convenção, de Circunferência Trigonométrica.

Observações

a) Todos os arcos começam a ser medidos a partir da origem, que é o ponto A(1,0);
b) Caso o arco comece a ser medido seguindo o sentido horário, a medida terá sinal negativo;
c) Caso o arco comece a ser medido seguindo o sentido anti-horário, a medida terá sinal positivo;
d) Os eixos do plano cartesiano dividem a figuram em 4 regiões, os quadrantes. Eles são contados seguindo o sentido anti-horário a partir do ponto A.

Percebemos essas observações resumidas na figura abaixo:

Arcos Trigonométricos

Ao inserirmos um ponto M na Circunferência Trigonométrica, teremos um arco AM cuja medida poderá ser feita em graus ou radianos. Se a medida seguir o sentido anti-horário, ela será positiva(+), caso contrário negativa(-).

a) Girando no sentido anti-horário(+) e incluindo os pontos A, B, A’ e B’, teremos:

a) Girando no sentido horário(-) e incluindo os pontos A, B, A’ e B’, teremos:

Arcos Côngruos

Chamamos de Arcos Côngruos quando dois arcos trigonométricos, por exemplo AM e AN, tem suas extremidades M e N coincidentes.

Exemplo I
Considerando o ponto B (90°) se dermos uma volta completa(360°) no sentido anti-horário, teremos o arco com 450°.

Exemplos de cálculo de arcos côngruos

1) Determinar a medida do ângulo na primeira volta positiva que equivale ao
arco de ângulo 1.110°.
Resolução
Para calcularmos a medida do arco na primeira volta, basta dividirmos a medida do arco informado por uma volta completa(360°). O resto da divisão será a medida do arco na primeira volta.

Assim
1.110/360 deixa um resto de 30°. Logo o arco de 1.110° equivale ao arco de 30°

2) Determinar a medida do ângulo na primeira volta positiva que equivale ao
arco de ângulo 15π/2.

Resolução
Para calcularmos a medida do arco na primeira volta, teremos que transformar uma volta completa(2π) em uma fração próxima ao do arco informado.
Assim, 2π é equivalente a 12π/2(3 voltas).

Em seguida, temos que decompor 15π/2 utilizando a medida de uma volta como um dos termos.

Resumindo:

15π/2 = 12π/2 + 3π/2

3π/2 será o excedente além das três voltas na circunferência e será côngruo ao arco 15π/2.

Conclusão

Nesse artigo aprendemos sobre Circunferência Trigonométrica e sua importância no Sistema Trigonométrico. Vimos as principais convenções utilizadas e como calcular arcos côngruos.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna

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