O que são as fórmulas de adição de arcos

As fórmulas de adição de arcos nas transformações trigonométricas são equações onde, dados dois arcos trigonométricos de medidas a e b, podemos calcular o seno, co-seno e a tangente da soma ou diferença desses mesmos arcos.

Identidades das fórmulas de adição de arcos

Existem 6 principais identidades de adição de arcos envolvendo seno, cosseno e tangente. São elas:

I) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a

II) sen(a – b) = sen a cos b – sen b cos a

III) cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b

IV) cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b

V) tg(a + b) = (tg a + tg b)/ (1 – tg a tg b)

VI) tg(a – b) = (tg a – tg b)/ (1 + tg a tg b)

Exemplo: Calcular o cos 75°

Resolução
Para calcularmos o cos 75°, devemos decompor o arco em outros dois, dos quais conhecemos as medidas.
Assim, 75° pode ser decomposto na seguinte soma: 45° + 30°.
Em seguida, utilizaremos a fórmula III.

cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b

cos(45 + 30) = cos 45 cos 30 – sen 45 sen 30

Substituindo:

cos 45 = √2/2
cos 30 = √3/2

sen 45 = √2/2
sen 30 = 1/2

cos(45 + 30) = cos 45 cos 30 – sen 45 sen 30
cos(45 + 30) = (√2/2) (√3/2) – (√2/2) (1/2)

cos(45 + 30) = √6/4 – √2/4

cos(45 + 30) = (√6 – √2)/4

Logo , o cos 75° = (√6 – √2)/4

Conclusão

Vimos nesse artigo as fórmulas de adição de arcos nas transformações trigonométricas. Aprendemos as 6 principais identidades de adição de arcos envolvendo seno, cosseno e tangente.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna