8 exercícios resolvidos de poliedros

Confira 8 exercícios resolvidos de poliedros envolvendo o Teorema de Euler e o cálculo de faces, vértices e arestas.

Antes de apresentarmos os exercícios resolvidos de poliedros precisamos explicar a importância deles na geometria espacial e nos certames e concursos.

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Questões envolvendo Geometria Espacial e Poliedros são muito comuns em concursos e vestibulares, visto que exigem um certo grau de análise de informações e boa capacidade de interpretação e dedução.

Em diversas situações de provas os poliedros são abordados juntamente com o Teorema de Euler e o cálculo de vértices, arestas e faces.

Com o intuito de ajudar o aluno a compreender o tema, seguem 8 exercícios resolvidos de poliedros e Relação de Euler.

1. (Unitau) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é:

a) a²

b) √3a²

c) 4a²

d)√5a^{2 }

e)√2a^{2 }

Resolução

Em um tetraedro regular existem 4 faces com triângulos equiláteros.

Área do triângulo equilátero:

A = (l² √3)/4 , onde l é a medida do lado do triângulo equilátero.

Como a aresta equivale ao lado, então l = a

A = (a² √3)/4

Como um tetraedro tem 4 faces triangulares, então a soma S das áreas de suas faces será:

S = 4 X (a² √3)/4

Simplificando:

S =a² √3 ou √3a²

Resposta: item b

2. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.

a) 6

b) 4

c) 5

d) 12

e) 9

Resolução

I) Calculando a soma dos ângulos de um polígono

A soma dos ângulos internos de um polígono é dado por:

S = (n – 2) x 180, onde n é a quantidade de lados do polígono.

Consideraremo a quantidade de faces de um poliedro pela letra F. Assim:

F x (N-2) x 180 = 720

Simplificando

F x (N – 2 ) = 4

II) O número de arestas é igual a metade da quantidade de lados vezes a quantidade de faces.

(F x N)/2 = A

F x N = 2 x A

III) Como a questão diz que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, então:

F = (2/3) x A

Ajustando

3 x F = 2 x A

Como temos as seguintes expressões:

3 x F = 2 x A e F x N = 2 x A, podemos fazer as substituições a seguir:

F x N = 3 x F. Assim temos:

N = 3

Substituindo em F x (N – 2 ) = 4

F x (3-2)= 4

F x 1 = 4

F = 4

Resposta: item B

3. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

Resolução

Temos 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal

Total de faces: 4 + 2 + 1 = 7 faces

Calculando o número de arestas:

Para calcular o número de arestas, devemos calcular o número de lados das faces:

4 Faces triangulares(3 lados): 4 x 3 = 12

2 Faces quadrangulares(4 lados): 2 x 4 = 8

1 Face hexagonal (6 lados): 1 x 6 = 6

Total de lados = 12 + 8 + 6 = 26

Como os lados compartilham os mesmo lados, o número de arestas será o número de lados/2.

Assim

A = 26/2 = 13 arestas

Aplicando a Relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 7 = 13 + 2

V + 7 = 15

V = 15 – 7 = 8 vértices

Resposta: item C

4. (Ufpe) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro

Resolução

O número de faces será 10 + 10 + 1 = 21

O número de arestas será o número de lados /2

Calculando o número de lados

10 Faces de três lados: 10 x 3 = 30

10 Faces de quatro lados: 10 x 4 = 40

1 Face de dez lados: 1 x 10 = 10

Total de lados: 30 + 40 + 10 = 80 Lados

Número de arestas = 80/2 = 40 arestas

Aplicando a fórmula de Euler

V + F = A + 2

V + 21 = 40 + 2

V + 21 = 42

V = 42 – 21 = 21 vértices

5. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a:

a) 16

b) 18

c) 24

d) 30

e) 44

Resolução

Continuando com exercícios resolvidos de poliedros. Número de vértices do poliedro V = 14

Calculando o número de lados(concorrentes) do polígono

6 x 4 = 24

4 x 3 = 12

4 x 5 = 20

Total de lados concorrentes: 56

Como um lado concorre com duas faces, devemos dividir por dois para calcular a quantidade de arestas

A = 56/2 = 28

Aplicando a relação de Euler:

V + F = A +2

14 + F = 28 + 2

14 + F = 30

F = 30 – 14

F = 16

Resposta: item A

6. (Pucpr) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Resolução

Número de lados = F x 3

Número de arestas:

A = (F x 3) /2

Quantidade de vértices informada pela questão:

V = (3/5)F

Aplicando o Teorema de Euler

V + F = A + 2

(3/5)F + F = (F x 3)/2 + 2

(3F + 5F)/5 – (3F)/2 = 2

(6F + 10F – 15F)/10 = 2

6F + 10F – 15 F = 20

F = 20

Substituindo:

A = (F x 3) /2

A = (20 x 3)/2 = 30 Arestas

Resposta: item B

7. (Pucrs) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é

a) 4

b) 6

c) 8

d) 9

e) 10

Resolução

Número de faces = 2 + 5 = 7

Calculando o número de lados:

2 faces pentagonais(5 lados) = 2 * 5 = 10

5 faces quadrangulares(4 lados) = 5 *4 = 20

Número de lados (L) = 10 + 20 = 30

Total de arestas = L/2 = 30 /2 = 15

Aplicando a relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 7 = 15 + 2

V + 7 = 17

V = 17 – 7 = 10 vértices

Resposta: item E

8. (Ufc) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é:

a) 12

b) 11

c) 10

d) 9

e) 8

Calculando o número de faces através da relação de Euler

V + F = A + 2

10 + F = 20 + 2

F = 22 – 10 = 12 faces

Número de faces triangulares = X

Número de faces quadrangulares = Y

X + Y = 12 → X = 12 – Y

X*3 + Y*4 = 2 * 20

X*3 + Y*4 = 40

(12 – Y)*3 + 4Y = 40

36 – 3Y + 4Y = 40

36 + Y = 40

Y = 40 -36 = 4

X + Y = 12

X + 4 = 12 → X = 12-4 = 8

Número de faces triangulares = 8

Resposta: item E

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Referências

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