Poliedros: absolutamente tudo!

Poliedro e a geometria espacial

Nesse artigo aprenderemos um pouco mais sobre geometria espacial através do estudo de poliedros.

Estudaremos algumas de suas características, tais como classificação, tipos, nomes e muitas outras informações.

Veremos os nomes dos principais poliedros regulares, entenderemos o que é um poliedro de Platão e finalizaremos com a famosa Relação de Euler.

Afinal de contas, o que é um poliedro?

Na geometria espacial existem figuras que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura. Essas mesmas figuras também são formadas por vértices, arestas e faces.

É essa a estrutura é que caracteriza um poliedro. Nesse sentido, suas faces são formadas por polígonos, ou seja uma figura plana composta de n lados.

Assim, o poliedro é um sólido limitado por superfícies planas poligonais. As arestas e os vértices de um poliedro correspondem aos lados e aos vértices daqueles polígonos.

Faces, arestas e vértices de um poliedro

Para compreendermos bem esses sólidos geométricos devemos deixar claro o que são faces, arestas e vértices.

  • Faces : são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.
  • Arestas: são os lados das faces do poliedro.
  • Vértices: são os vértices da faces do poliedro.
Casa da Matemática - Tudo sobre Poliedros: classificação, tipos e exemplos - Vértices, Faces e Arestas
Faces, vértices e arestas de um poliedro

Como são classificados os poliedros?

Os poliedros podem ter algumas classificações: côncavos ou convexos e regulares ou irregulares.

O que são poliedros côncavos e convexos?

Um poliedro pode ser classificado como côncavo ou convexo. Quando um poliedro for convexo, qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estará totalmente contido nele.

Assim, quaisquer dois pontos pertencentes a superfície desse poliedro formará um segmento que terá esses pontos como as extremidades contidas inteiramente nele. Caso, essa condição não seja atendida, teremos um Poliedro Côncavo (ou não-convexo).

Casa da Matemática - Tudo sobre Poliedros: classificação, tipos e exemplos - Poliedros Convexos e Poliedros Côncavos
Poliedros côncavos e convexos

Poliedro de Platão

Existe uma classificação especial, chamada de poliedro de Platão, para determinados tipos de sólidos quando:

I) Todas as faces tiverem a mesma quantidade de arestas;

II) Todos os vértices forem formados pela mesma quantidade de arestas e

III) Obedecer à Relação de Euler, onde o número de vértices somado ao número de faces deverá ser igual ao número de arestas mais 2.

Poliedros regulares e irregulares (não-regulares)

Chamamos os poliedros de regulares quando todas as suas faces forem formadas por polígonos regulares idênticos.

Caso o sólido tenha faces formadas por polígonos regulares e irregulares será um poliedro irregular(não-regular).

Casa da Matemática - Tudo sobre Poliedros: classificação, tipos e exemplos - Poliedros Regulares e Poliedros Irregulares
Poliedros Regulares e Poliedros Irregulares

Exemplos de poliedros regulares

Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
Hexaedro (ou cubo): sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas.
Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.

Exemplos de poliedros regulares
Exemplos de poliedros regulares

Exemplos de poliedros irregulares

Prisma

Sólido geométrico formado por uma face superior e inferior planas e congruentes. Suas laterais são compostas de paralelogramos ou quadriláteros.

Dependendo da inclinação das arestas laterais, os prismas são classificados em retos ou oblíquos.

Poliedro irregular - Prisma
Prisma

Pirâmide

Sólido geométrico formado por uma base poligonal e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. O número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide.

Poliedro irregular: pirâmide
Pirâmide

Nomes dos principais poliedros regulares

Nomes dos principais poliedros regulares
Nomes dos principais poliedros regulares

A Relação de Euler

Em um poliedro convexo existe a relação de Euler. Ela é uma equação matemática que relaciona os números de vértices, faces e o arestas de um poliedro convexo.
Essa relação é mostrada a seguir:

V + F = A + 2

Além dos poliedros convexos essa relação também é válida para alguns não-convexos.

A partir disso, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (obedece a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Exemplo
Dado um poliedro convexo com 6 faces e 12 arestas quantos vértices teremos?

Resolução
Como se trata de um poliedro convexo, podemos aplicar a relação de Euler.
Logo:
V + F = A + 2

Substituindo:
V + 6 = 12 + 2
V + 6 = 14
V = 14 – 6
V = 8

Assim, o poliedro terá 8 vértices.

Conclusão

No decorrer do artigo, aprendemos um pouco mais sobre poliedros, um dos principais temas da Geometria Espacial.

Vimos algumas classificações e nomenclaturas. Estudamos também sobre uma das principais relações envolvendo esses tipos de sólidos geométricos: a relação de Euler.

Referências

Portal Toda Matéria
Portal Brasil Escola
Portal Mundo Educação

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