Poliedro e a geometria espacial
Nesse artigo aprenderemos um pouco mais sobre geometria espacial através do estudo de poliedros.
Estudaremos algumas de suas características, tais como classificação, tipos, nomes e muitas outras informações.
Veremos os nomes dos principais poliedros regulares, entenderemos o que é um poliedro de Platão e finalizaremos com a famosa Relação de Euler.
Afinal de contas, o que é um poliedro?
Na geometria espacial existem figuras que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura. Essas mesmas figuras também são formadas por vértices, arestas e faces.
É essa a estrutura é que caracteriza um poliedro. Nesse sentido, suas faces são formadas por polígonos, ou seja uma figura plana composta de n lados.
Assim, o poliedro é um sólido limitado por superfícies planas poligonais. As arestas e os vértices de um poliedro correspondem aos lados e aos vértices daqueles polígonos.
Exemplos de Poliedros
Faces, arestas e vértices de um poliedro
Para compreendermos bem esses sólidos geométricos devemos deixar claro o que são faces, arestas e vértices.
- Faces : são as superfícies planas poligonais que limitam o poliedro.
- Arestas: são os lados das faces do poliedro.
- Vértices: são os vértices da faces do poliedro.
Como são classificados os poliedros?
Os poliedros podem ter algumas classificações: côncavos ou convexos e regulares ou irregulares.
O que são poliedros côncavos e convexos?
Um poliedro pode ser classificado como côncavo ou convexo. Quando um poliedro for convexo, qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estará totalmente contido nele.
Assim, quaisquer dois pontos pertencentes a superfície desse poliedro formará um segmento que terá esses pontos como as extremidades contidas inteiramente nele. Caso, essa condição não seja atendida, teremos um Poliedro Côncavo (ou não-convexo).
Poliedro de Platão
Existe uma classificação especial, chamada de poliedro de Platão, para determinados tipos de sólidos quando:
I) Todas as faces tiverem a mesma quantidade de arestas;
II) Todos os vértices forem formados pela mesma quantidade de arestas e
III) Obedecer à Relação de Euler, onde o número de vértices somado ao número de faces deverá ser igual ao número de arestas mais 2.
Poliedros regulares e irregulares (não-regulares)
Chamamos os poliedros de regulares quando todas as suas faces forem formadas por polígonos regulares idênticos.
Caso o sólido tenha faces formadas por polígonos regulares e irregulares será um poliedro irregular(não-regular).
Exemplos de poliedros regulares
Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
Hexaedro (ou cubo): sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas.
Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.
Exemplos de poliedros irregulares
Prisma
Sólido geométrico formado por uma face superior e inferior planas e congruentes. Suas laterais são compostas de paralelogramos ou quadriláteros.
Dependendo da inclinação das arestas laterais, os prismas são classificados em retos ou oblíquos.
Pirâmide
Sólido geométrico formado por uma base poligonal e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. O número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide.
Nomes dos principais poliedros regulares
A Relação de Euler
Em um poliedro convexo existe a relação de Euler. Ela é uma equação matemática que relaciona os números de vértices, faces e o arestas de um poliedro convexo.
Essa relação é mostrada a seguir:
V + F = A + 2
Além dos poliedros convexos essa relação também é válida para alguns não-convexos.
A partir disso, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (obedece a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.
Exemplo
Dado um poliedro convexo com 6 faces e 12 arestas quantos vértices teremos?
Resolução
Como se trata de um poliedro convexo, podemos aplicar a relação de Euler.
Logo:
V + F = A + 2
Substituindo:
V + 6 = 12 + 2
V + 6 = 14
V = 14 – 6
V = 8
Assim, o poliedro terá 8 vértices.
Conclusão
No decorrer do artigo, aprendemos um pouco mais sobre poliedros, um dos principais temas da Geometria Espacial.
Vimos algumas classificações e nomenclaturas. Estudamos também sobre uma das principais relações envolvendo esses tipos de sólidos geométricos: a relação de Euler.
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Referências
Portal Toda Matéria
Portal Brasil Escola
Portal Mundo Educação
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