O que são produtos notáveis

Produtos notáveis são polinômios bastante utilizados nos cálculos algébricos.
Eles facilitam na fatoração e decomposição de polinômios para formas mais simples, o que facilita na resolução de problemas algébricos.
Nesse artigo falaremos sobre esses 5 principais produtos notáveis:

1. Quadrado da soma de dois números

2. Quadrado da diferença de dois números

3. Produto da soma pela diferença de dois números

4. Cubo da soma de dois números

5. Cubo da diferença de dois números

1. Quadrado da soma de dois números

Sejam dois números a e b, sua soma será representada por (a + b). Assim, seu quadrado será (a + b)², ou seja, (a + b) . (a + b).

Assim, o quadrado da soma de dois números será o quadrado do primeiro número + duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo número + o quadrado do segundo número.

Exemplo

(4x + 5y)²

1. Quadrado do primeiro termo: (4x)² = 16x²
2. Duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo número : 2 . 4x . 5y = 40xy
3. Quadrado do segundo termo: (5y)² = 25y²

Resultado

(4x + 5y)² = 16x² + 40xy + 25y²

2. Quadrado da diferença de dois números

Sejam dois números a e b, sua diferença será representada por (a – b) . Logo, seu quadrado será (a – b)² ou seja, (a – b) . (a – b).

Assim, o quadrado da diferença de dois números será o quadrado do primeiro número – duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo número + o quadrado do segundo número.

Exemplo

(2x – 3y)²

1. Quadrado do primeiro termo: (2x)² = 4x²
2. Duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo número : 2 . 2x . 3y = 12xy
3. Quadrado do segundo termo: (3y)² = 9y²

Resultado

(2x – 3y)² = 4x² – 12xy + 9y²

3. Produto da soma pela diferença de dois números

Sejam dois números a e b, sua diferença será representada por (a – b) e sua soma por (a + b). Portanto, o produto da soma pela diferença será representada por (a + b) . (a – b).

Logo, o produto da soma pela diferença será o quadrado do primeiro número – o quadrado do segundo número.

Exemplo

(x + 2y) . (x – 2y)

1. Quadrado do primeiro número: x²
2. Quadrado do segundo número: (2y)² = 4y²

Resultado

x² – 4y²

4. Cubo da soma de dois números

Sejam dois números a e b, sua soma será representada por (a + b). Assim, o seu cubo será represendado por (a + b)³, ou seja, (a + b) . (a + b) . (a + b).

Portanto o cubo da soma de dois números será o cubo do primeiro número + 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo + 3 vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo + o cubo do segundo.

Exemplo

(x + 2y) ³

1. Cubo do primeiro número: x³
2. 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo: 3 . x² . 2y = 6x²y
3. 3 vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo: 3 . x (2y)² = 3 . x . 4y² = 12xy²
4. Cubo do segundo número: (2y)³ = 8y³

Resultado

x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

4. Cubo da diferença de dois números

Sejam dois números a e b, sua diferença será representada por (a – b). Assim, o seu cubo será represendado por (a – b)³, ou seja, (a – b) . (a – b) . (a – b).

Portanto o cubo da diferença de dois números será o cubo do primeiro número – 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo + 3 vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo – o cubo do segundo.

Exemplo

(x – 2y) ³

1. Cubo do primeiro número: x³
2. 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo: 3 . x² . 2y = 6x²y
3. 3 vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo: 3 . x (2y)² = 3 . x . 4y² = 12xy²
4. Cubo do segundo número: (2y)³ = 8y³

Resultado

x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

Conclusão

Vimos nesse artigo os 5 principais produtos notáveis e demonstramos como eles foram construídos.

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Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!