Aprenda com 10 exercícios resolvidos de equações modulares

Aplicando o estudo sobre equação modular, veremos uma lista com 10 exercícios resolvidos de equações modulares.
Analisaremos as mais variadas situações e cenários, mostrando passo a passo a resolução de cada uma das questões.
Veja agora os exercícios resolvidos de equações modulares.

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1. Resolva a equação |3x – 2| = ¹/₂

Solução
Para resolvermos a equação analisaremos  dois cenários:
I)3x – 2 = ¹/₂
3x – 2 = ¹/₂
3x = ¹/₂ + 2
3x = ^{(1 + 4)}/₂
3x = ⁵/₂
x = (⁵/₂)/3
x = ⁵/₆

II)3x – 2 = –¹/₂
3x – 2 = –¹/₂
3x = –¹/₂ + 2
3x = ^{(-1 + 4)}/₂
3x = ³/₂
x = (³/₂)/3
x = ³/₆

Logo, o conjunto solução será:

S = {⁵/₆ , ³/₆ }

2. Encontre a solução da equação |x – 4| = 1

Solução

I) |x – 4| = 1
x – 4 = 1
x = 1 + 4
x = 5

II) |x – 4| = -1
x – 4 = -1
x = -1 + 4
x = 3

Assim, o conjunto solução será:
S = {5 , 3}

3. Obtenha o resultado da equação |^{(x – 1)}/₃|= 5

Solução
Analisando as duas possibilidades:
I) |^{(x – 1)}/₃|= 5
^{(x – 1)}/₃= 5
(x – 1)= 5.3
x – 1 = 15
x = 15 +1
x = 16

I) |^{(x – 1)}/₃|= -5
^{(x – 1)}/₃= -5
(x – 1)= (-5) . 3
x – 1= -15
x = -15 + 1
x = -14

Conjunto solução:

S = {16, -14}

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4. Resolva a seguinte equação modular |x² -8x + 13|= 1

Solução
Dentro dos exercícios resolvidos de equações modulares, essa questão é um pouco diferente.
Nessa equação modular teremos, dentro dela, uma equação de segundo grau. Logo, deveremos aplicar a resolução para esse tip ode quação nas duas situações a serem analisada.

I) x² -8x + 13= 1
x² -8x + 13= 1
x² -8x + 13 – 1 = 0
x² -8x + 12 = 0
Δ = (-8)² – 4. 1. 12
Δ = 64 – 48
Δ = 16
√Δ = √16 = 4

x₁ = (-[-8] + 4)/2.1
x₁ = (8 + 4)/2.1
x₁ = 12/2
x₁ = 6

x₂ = (-[-8] – 4)/2.1
x₂ = (8 – 4)/2.1
x₂ = 4/2
x₂ = 2

II)x² -8x + 13= -1
x² -8x + 13 = -1
x² -8x + 13 + 1 = 0
x² -8x + 14 = 0
Δ = (-8)² – 4. 1. 14
Δ = 64 – 56
Δ = 8
√Δ = √8 = 2√2

x₁ = (-[-8] + 2√2)/2.1
x₁ = (8 + 2√2)/2
x₁ = 2(4 + √2)/2
x₁ = 4 + √2

x₂ = (-[-8] – 2√2)/2.1
x₂ = (8 – 2√2)/2
x₂ = 2(4 – √2)/2
x₂ = 4 – √2

Conjunto Solução:

S = {2, 6, 4 + √2, 4 – √2 }

5. Obtenha a solução da equação modular |x² -3x |= 4

Solução
Para acharmos a solução,obteremos novamente as raízes da equação do segundo grau nos dois cenários a serem analisados.
I) x² -3x = 4
x² -3x – 4 =0
Δ = (-3)² – 4. 1. (-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
√Δ = √25 = 5

x₁ = (-[-3] + 5)/2.1
x₁ = (3 + 5)/2
x₁ = 8/2
x₁ = 4

x₂ = (-[-3] – 5)/2.1
x₂ = (3 – 5)/2
x₂ = (-2)/2
x₂ = -1

II) x² -3x = -4
x² -3x + 4 =0
Δ = (-3)² – 4. 1. (4)
Δ = 9 – 16
Δ = -7

Quando o delta é negativo, a equação não possui raízes reais. Assim, a solução da equação modular será:

S= {4,-1}

6. Resolva a equação |2x – 4 |= x – 1

Solução
Analisando as duas situações:
I)2x – 4 = x – 1
2x – 4 = x – 1
2x – x = – 1 + 4
x = 3

II)2x – 4 = -(x – 1)
2x – 4 = -(x – 1)
2x – 4 = -x + 1
2x + x = 1 + 4
3x = 5
x = ⁵/₃

Resposta:
S = {3, ⁵/₃}

7. Resolva a equação |x + 2 |= 3x – 6

Solução
I) x + 2 = 3x – 6
x – 3x = -6 – 2
-2x = -8
x = 4

II) x + 2 = -(3x – 6)
x + 2 = -3x + 6
x + 3x = 6 – 2
4x = 4
x = 1

Condições
Como o valor do módulo terá que ser maior ou igual a 0, temos que inserir a seguinte condição:
3x – 6 ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥ 6/3
x ≥ 2

Logo, para satisfazer a condição acima, a solução da equação será x = 2, descartando o valor 1.

S = {2}

8. Resolva a equação |4x – 6 |= |3x + 2|

Solução
I) 4x – 6 = 3x + 2
4x – 3x = 2 + 6
x = 8

II) 4x – 6 = -(3x + 2)
4x – 6 = -3x – 2
4x + 3x = -2 + 6
7x = 4
x = ⁴/₇

Resposta:
S = {8 , ⁴/₇}

9. Resolva a equação |2x + 1 |= |x – 3|

Solução
I)2x + 1 = x – 3
2x + 1 = x – 3
2x -x = -3 – 1
x = -4

II)2x + 1 = -(x – 3)
2x + 1 = -(x – 3)
2x + 1 = -x + 3
2x + x = 3 – 1
3x = 2
x = ²/₃

Solução:
S ={-4, ²/₃}

10. Resolva a equação |x|² – 10|x| + 24 = 0

Outra questão interessante na lista de exercícios resolvidos de equações modulares.
Ela envolve variável com módulo e equação de segundo grau.
Solução
Fazer |x| = y, com y > 0.
Assim, teremos:

y² – 10y + 24 = 0
Δ = (-10)² – 4. 1. (24)
Δ = 100 – 96
Δ = 4 = √4 = 2

√Δ = √25 = 5

x₁ = (-[-10] + 2)/2.1
x₁ = (10 + 2)/2
x₁ = 12/2
x₁ = 6

x₂ = (-[-10] – 2)/2.1
x₂ = (10 – 2)/2
x₂ = 8/2
x₂ = 4

Como |x| = y, teremos
I) |x| = 5
Assim, x = 5 ou x = -5

II) |x| = 4
Assim, x = 4 ou x = -4

Solução:
S = {5, -5, 4, -4}

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Conclusão

Vimos nesse artigo 10 exercícios resolvidos de equações modulares.
Analisamos as questões envolvendo diversos cenários a apresentamos as respectivas soluções passo a passo.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!

Que tal continuar os estudos vendo nosso artigo 8 exercícios resolvidos de poliedros?

Referência

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola

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