Equações modulares: entendendo a teoria

As equações modulares são muito similares às funções modulares e possuem a seguinte estrutura:

O x pode ser uma equação de primeiro grau quanto de segundo grau.

Para entendermos melhor como resolvê-las, vamos analisar 5 exercícios de equações modulares com suas respectivas soluções.

Exercício 1: Resolva a seguinte equação: |2x + 1| = 5

Solução
Para resolver essa equação devemos considerar, pela regra, dois casos
1ª Caso: 2x + 1 = 5
2x + 1 = 5
2x = 5 – 1
2x = 4
x = 2

No primeiro caso o valor de x será igual a 2.

2ª Caso: 2x + 1 = -5
2x + 1 = -5
2x = -5 – 1
2x = -6
x = -3

No segundo caso o valor de x será igual a -3.

Assim, os valores de x que satisfazem a equação serão: -3 e 2.

Percebe-se que para resolver a equação devemos considerar a igualdade tanto no sinal original (5) quanto no sinal inverso (-5)

Exercício 2: Resolva a seguinte equação: |x – 4| = 1

Solução
Primeiro caso: x – 4 = 1
x – 4 = 1
x = 1 + 4
x = 5

No primeiro caso o valor de x será 5.

Segundo caso: x – 4 = -1
x – 4 = -1
x = -1 + 4
x = 3

No segundo caso o valor de x será 3.

Assim, os valores de x que satisfazem a equação serão: 3 e 5.

Exercício 3: Resolva a seguinte equação: |3x + 5| = 0

Solução
Como no caso a equação é igual a zero, só teremos um caso para solucionar: 3x + 5 = 0
3x + 5 = 0
3x = -5
x = -5/3

O valor de x será igual a -5/3.

Exercício 4: Resolva a seguinte equação: | x² – 5x +5| = 1

Solução
Aqui nós resolveremos uma equação de segundo grau para dois casos:
Primeiro caso: x² – 5x + 5 = 1
x² – 5x + 5 = 1
x² – 5x + 5 – 1 = 0
x² – 5x + 4 = 0
a=1
b=-5
c=4

Δ = b ²  – 4.a.c

Δ = (-5)² – 4.1.4

Δ = 25 – 16

Δ = 9

x₁ = (-b + √Δ )/ 2.a
x₁ = (-[-5] + √9)/2.1
x₁ = (5 + 3)/2
x₁ = 8/2
x₁ = 4

x₂ = (-b – √Δ )/ 2.a
x₂ = (-[-5] – √9 )/2.1
x₂ = (5 – 3 )/2
x₂ = 2/2
x₂ = 1

Segundo caso: x² – 5x + 5 = -1
x² – 5x + 5 = -1
x² – 5x + 5 + 1 = 0
x² – 5x + 6 = 0
a=1
b=-5
c=6

Δ = b ²  – 4.a.c

Δ = (-5)² – 4.1.6

Δ = 25 – 24

Δ = 1

x₁ = (-b + √Δ )/ 2.a
x₁ = (-[-5] + √1)/2.1
x₁ = (5 + 1)/2
x₁ = 6/2
x₁ = 3

x₂ = (-b – √Δ )/ 2.a
x₂ = (-[-5] – √1 )/2.1
x₂ = (5 – 1 )/2
x₂ = 4/2
x₂ = 2

Assim, os valores de x que satisfazem a equação serão: 1,2,3,4.

Exercício 5: Resolva a seguinte equação: |4x – 6| = |3x + 2|

Solução
A resolução para a equação passa também por dois casos;
Primeiro caso: 4x – 6 = 3x + 2
4x – 6 = 3x + 2
4x – 3x = 2 + 6
x = 8

Para o primeiro caso, x terá o valor de 8.

Segundo caso: 4x – 6 = -(3x + 2)
4x – 6 = -(3x + 2)
4x – 6 = -3x – 2
4x + 3x = – 2 + 6
7x = 4
x = 4/7

Para o segundo caso, x terá o valor de 4/7.

Assim, os valores de x que satisfazem a equação serão: 8 e 4/7.

Conclusão

Vimos nesse artigo as equaçãoes modulares. Aprendemos como é sua estrutura básica e resolvemos 5 exercícios envolvendo diversos cenário de equações modulares.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos

Refrências

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola