Permutação Simples com exercícios

Permutação simples na análise combinatória

A permutação simples é um outro tópico recorrente na análise combinatória. Ela basicamente é um caso específico de arranjos simples de um conjunto de n elementos.

No caso, ela seria um arranjo onde o o número de elementos será igual ao número de posições.

Assim, a diferença entre cada um dos agrupamentos da permutação será apenas pela mudança de posição entre seus elementos.

Permutação Simples - Dedução da fórmula
Fórmula de permutação simples

Logo, a permutação de n elementos será igual ao fatorial de n.

Exemplo de problema

De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 livros em uma estante?

Resolução

A quantidade de elementos será 5, ou seja, n = 5.

Como todos os livros serão organizados, então a quantidade de posições também será igual a 5, caracterizando uma permutação.

Portanto,a quantidade de maneiras distintas que poderemos organizar os livros será igual a

P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Permutação com repetição

Em um caso específico, quando tivermos um conjunto com n elementos e que possua k elementos repetidos, então para calcular todas as possíveis trocas desses n elementos,utilizaremos a permutação com repetição.

Fórmula de permutação com repetição

Exemplo de problema envolvendo repetição

Quantos anagramas podemos escrever com a palavra Papagaio?

Resolução

Questões envolvendo anagramas são típicas de permutação.

Para resolver esse tipo de problema, contaremos a quantidade de letras e depois agruparemos os elementos repetidos.

Número de elementos(letras) da palavra papagaio: 8
Letras repetidas:
P: 2
A: 3

P8 2,3 = 8!/2!3! = 8x7x6x5x4x3!/2x1x3! = 8x7x6x5x4/2 = 8x7x6x5x2 = 3360

A palavra papagaio tem 3360 anagramas

Permutação circular

Outro caso particular é a do tipo circular. Ela é composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica.

Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência.

Fórmula de permutação circular

Exemplo de problema envolvendo a do tipo circular

Dado um grupo com 5 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular sem haver repetição das posições?

Resolução

Número de elementos: 5

Como o local apresenta o formato de circunferência, aplicaremos a fórmula da permutação circular.

PC(5) = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24

As cinco pessoas poderão ficar sentadas de 24 distintas em uma mesa circular.

Referências

Maths is Fun