Progressão Aritmética: dominando os conceitos e praticando com exercícios

O que é uma Progressão Aritmética

Uma Progressão Aritmética, também chamada de PA, é uma sequência numérica no qual cada termo, a contar do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Esse número r também é chamado de Razão da Progressão Aritmética.

Exemplos:
a) (1,3,5,7,9,…)
Razão r = 3 – 1
r = 2

b) (4,8,12,16,20,…)
Razão r = 8 – 4
r = 4

c) (2,2,2,2,2,…)
Razão r = 2 – 2
r = 0

Classificando uma Progressão Aritmética

Uma PA pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante.

Progressão Aritmética Crescente

Uma PA é crescente quando cada elemento, a partir do segundo é maior que o termo anterior.
Para satisfazer essa condição, a razão tem que ser positiva.

Exemplo:
(3,6,9,12,…)
r = 6-3
r = 3
r > 0
PA Crescente

Progressão Aritmética Decrescente

Uma PA é decrescente quando cada elemento, a partir do segundo é menor que o termo anterior.
Para satisfazer essa condição, a razão tem que ser negativa.

Exemplo:
(15,10,5,0,…)
r = 10-15 = -5
r = -5
r < 0
PA Decrescente

Progressão Aritmética Constante

É um caso especia de PA onde todos os elementos são iguais
Para satisfazer essa condição, a razão tem que ser igual a 0.

Exemplo:
(10,10,10,10,…)
r = 10-10 = 0
r = 0
PA Constante

Propriedade de uma PA

Dada uma sequência de 3 elementos de uma progressão aritmética, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois.

Assim, dada a PA (4, 8, 12)
Termo 1 = 4
Termo 3 = 12

Termo médio = (12 + 4)/2 = 16/2 = 8

Entendendo a fórmula do Termo Geral de uma PA

Para obtermos qualquer termo de uma progressão aritmética, utilizamo a fórmula do Termo Geral da PA.
Ela é obtida em função da razão(r) e do primeiro termo (a₁):

a_n = a₁ + (n – 1)r

Exemplos:
Dada a PA (2, 4, 6, 8, …) calcular o décimo termo.

Resolução
a_n = a₁ + (n – 1)r
r = 4 – 2 = 2
n = 10
a₁ = 2

a₁₀ = a₁ + (10 – 1)2
a₁₀ = 2 + (9)2
a₁₀ = 2 + 18
a₁₀ = 20

Fórmula Genérica de uma PA

Em algumas situações é interessante representarmos genericamente uma Progressão Aritmética finita, por exemplo com 3 ou 4 termos.

Para uma PA de três termos podemos representar genericamente como:
a) (x, x + r, x + 2r)
ou
b) (x – r, x, x + r)

Para uma PA de quatro termos podemos representar genericamente como:
a) (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
ou
b) (x – 2r, x-r, x ,x + r)

Exemplos
Determinar uma PA crescente de três termos, onde a soma deles é 3 e o produto é -8.
Resolução
I) Analisando a soma
(x – r, x, x + r)
x – r + x + x + r = 3
x + x + x = 3
3x = 3
x = 3/3
x = 1

I) Analisando o produto
(x – r, x, x + r)
(x – r)x(x + r) = -8
(1 – r)1(1 + r) = -8
(1 – r)(1 + r) = -8
1 – r² = -8
– r² = -8 – 1
– r² = -9 (-1)
r² = 9
r = 3

Assim, a PA de três termos será a seguinte:
a₁ = 1 – 3 = -2
a₂ = 1
a₃ = 1 + 3 = 4

(-2, 1 , 4)

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Outra fórmula bastante utilizada em provas é a da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.
Nela temos o seguinte:

Exemplos:
Calcular a soma dos 20 primeiros números da seguinte PA
(6,9,12,15,18,…)

Resolução
Nessa questão utilizaremos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA. Assim, precisamos identificar cada um dos itens que fazem parte dela.
I) r = 9 – 6 = 3
II) Como a questão pede a soma dos 20 primeiros termos, temos que n = 20
III) O primeiro termo a₁ = 6
IV) a₂₀ = a₁ + (20 – 1) 3 = 6 + (19)3 = 6 + 57 = 63

Assim

S₂₀ = (a₁ + a₂₀ )n/2
S₂₀ = (6 + 63 )20/2
S₂₀ = (69)20/2
S₂₀ = (69)10
S₂₀ = 690

Portanto a soma dos 20 primeiros termos da PA será 690.

Conclusão

Nesse artigos estudamos a Progressão Aritmética. Vimos conceitos, características e algumas fórmulas bastante úteis em provas aplicadas em exemplos práticos.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna