Arranjos simples através de exercícios

Arranjos simples na análise combinatória

Os arranjos simples são formas de agruparmos certos elementos levando em conta sua ordem e natureza.

Assim, em um arranjo simples, a ordem dos elementos é importante. Isso porque um elemento, por exemplo, formado pelas letras AB é diferente do elemento BA.

Em termos mais formais, temos que o arranjo simples será:

Um agrupamento de n elementos tomados de p a p (com n>=1 e p um número natural), onde qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos se diferem pela ordem e natureza.

Os arranjos simples podem ser calculados utilizando o princípio fundamental da contagem ou através da fórmula a seguir:

Por exemplo:

A_5,3 =

5!/(5-3)! =

5!/2! =

(5 x 4 x 3 x 2!)/2! = 5 x 4 x 3 = 60

Veremos agora alguns exemplos de arranjos simples através de exercícios resolvidos.

1.Um campeonato de futebol é disputado por 5 equipes e serão premiados os dois primeiros colocados(campeão e vice, cada um com valores diferentes). De quantas manerias distintas a premiação poderá ser distribuída?

Resolução

O total de elementos do conjunto(equipes) será 5. Ou seja, n = 5.

Nesse caso a ordem de premiação importa, pois teremos que o campeão é diferente do vice campeão.

Os elementos estarão dispostos de 2 a 2. Ou seja, p = 2.

Assim, teremos a seguinte expressão:

A_5,2 = 5!(5-2)! = 5!/3! = (5x4x3!)/3! = 5 x 4 = 20

Portanto, teremos 30 possibilidades de distribuição da premiação, considerando o primeiro e o segundo colocado.

2. (Ufmg 95) Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, será:

Resolução

O número de elementos no caso será dado pelo número de cadeiras. Assim, o n será igual a 50.

Como são 2 alunos que irão preencher os lugares, tomaremos o arranjo de 2 a 2. Logo o p será igual a 2.

Armando a fórmula:

A_50,2 = 50!/(50-2)! = 50!/48! = (50 x 49 x 48!)/48! = 50 x 49 = 2450

Logo, o número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras será 2450.

3. (Ufba 96) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.

Resolução

Os elementos dispostos são 6: 1, 2, 3, 4, 6 e 8.

Contudo, algumas restrições serão impostas:

1 – Os números deverão ser ímpares

2 – Os algarismos deverão ser distintos

Como o número deverá ser ímpar, então deveremos restringir o último dígito aos elementos 1 ou 3 (2 possibilidades ou 2!).

As possibilidades dos outros dois algarismos deverão ser calculados através da fórmula do arranjo simples.

Porém, como retiramos um elemento, o n será igual a 5 e o p será igual a 2 na fórmula.

A_5,2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = = (5 x 4 x 3!)/3! = 5 x 4 = 20.

Para os 2 primeiros algarismos teremos 20 possibilidades. Para o último teremos 2! ou 2 possibilidades.

O resultado final será obtido através da multiplicação de 20 por 2, que será igual a 40.

Assim, a quantidade de números que poderá ser formada será 40 (x = 40).

Referência

Wikipedia

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