Permutação simples na análise combinatória
A permutação simples é um outro tópico recorrente na análise combinatória. Ela basicamente é um caso específico de arranjos simples de um conjunto de n elementos.
No caso, ela seria um arranjo onde o o número de elementos será igual ao número de posições.
Assim, a diferença entre cada um dos agrupamentos da permutação será apenas pela mudança de posição entre seus elementos.
Logo, a permutação de n elementos será igual ao fatorial de n.
Exemplo de problema
De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 livros em uma estante?
Resolução
A quantidade de elementos será 5, ou seja, n = 5.
Como todos os livros serão organizados, então a quantidade de posições também será igual a 5, caracterizando uma permutação.
Portanto,a quantidade de maneiras distintas que poderemos organizar os livros será igual a
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Permutação com repetição
Em um caso específico, quando tivermos um conjunto com n elementos e que possua k elementos repetidos, então para calcular todas as possíveis trocas desses n elementos,utilizaremos a permutação com repetição.
Exemplo de problema envolvendo repetição
Quantos anagramas podemos escrever com a palavra Papagaio?
Resolução
Questões envolvendo anagramas são típicas de permutação.
Para resolver esse tipo de problema, contaremos a quantidade de letras e depois agruparemos os elementos repetidos.
Número de elementos(letras) da palavra papagaio: 8
Letras repetidas:
P: 2
A: 3
P8 2,3 = 8!/2!3! = 8x7x6x5x4x3!/2x1x3! = 8x7x6x5x4/2 = 8x7x6x5x2 = 3360
A palavra papagaio tem 3360 anagramas
Permutação circular
Outro caso particular é a do tipo circular. Ela é composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica.
Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência.
Exemplo de problema envolvendo a do tipo circular
Dado um grupo com 5 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular sem haver repetição das posições?
Resolução
Número de elementos: 5
Como o local apresenta o formato de circunferência, aplicaremos a fórmula da permutação circular.
PC(5) = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24
As cinco pessoas poderão ficar sentadas de 24 distintas em uma mesa circular.
Referências
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