Como utilizar o método gráfico para resolução de uma equação imediata tangente

O que é uma equação imediata tangente

Uma equação imediata tangente é uma uma estrutura do tipo tg x = k, onde k é uma constante real. Para resolvê-las geralmente utilizamos o método gráfico, assim como é feito com senos e cossenos.

Requisitos para utilização do método gráfico para resolução de uma equação imediata tangente

Dando sequência ao estudo das tangentes na circunferência trigonométrica, chegou o momento de analisarmos um tipo de equação bem comum na trigonometria: a equação imediata tangente.
Para resolver esse tipo de problema, utilizaremos o método gráfico. Nessa técnica são necessários basicamente 2 requisitos.

I – Conhecer a tabela de arcos notáveis da tangente

Na resolução usando o método gráfico, é necessário sabermos os valores da tangente de alguns arcos notáveis.

II – Identificar os arcos simétricos

Com os valores dos arcos notáveis, devemos também identificar as simetrias entre os arcos, conhecendo os valores nos demais quadrantes.

Observação

Os arcos de 180°(π) e 0° possuem valor de tangente igual a zero, visto que eles encontram o eixo das tangentes na origem, conforme mostrado na imagem a seguir.

Exemplos pŕaticos

Para exemplificarmos o método gráfico para resolução de uma equação imediata tangente, resolveremos alguns exercícios utilizando essa técnica.

Exemplo I – Resolva a equação tg x = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π

Resolução
Pra resolvermos esse exemplo, devemos identificar qual arco notável corresponde a tangente igual a 1.
No primeiro quadrante, o arco π/4 (45°) possui a tangente igual a 1.
Contudo, por simetria e traçando uma reta que passe pelo arco π/4 e alcance o eixo das tangentes, percebemos que existe um arco que também o valor 1 para a tangente, e esse arco está no terceiro quadrante, conforme mostrado nas figuras abaixo

Logo, para calcularmos o arco simétrico no 3° quadrante devemos adicionar π ao arco π/4.
π/4 + π = 5π/4

Assim, o conjunto solução para os valores de tangente de x igual a 1 são {π/4 e 5π/4}

Exemplo I – Resolva a equação tg x = -1, para 0 ≤ x ≤ 2π

Resolução
Nesse exemplo não temos, pela tabela de arcos notáveis, o arco cuja tangente é -1, mas temos o ângulo que possui a tangente igual a 1, que é π/4.
Por simetria, podemos calcular o arco equivalente que seja o oposto, ou seja o valor -1.

Como as tangentes com valores negativos estão nos segundos e quartos quadrantes, podemos identificar os arco simétricos a π/4 daqueles setores. Para isso, basta diminuirmos de 2π o valor de π/4 para o quadrante IV e diminuirmos π/4 de π para o quadrante II, conforme mostrado na imagem abaixo:

Assim:
x = π – π/4 = 3π/4
ou
x = 2π – π/4 = 7π/4

O conjunto solução será S = {3π/4, 7π/4}

Conclusão

Nesse artigo estudamos a equação imediata tangente e aprendemos como utilizar o método gráfico para resolver esse tipo de questão.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna

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