A tangente do arco trigonométrico

Para estudarmos a tangente do arco trigonométrico devemos tomar por base a Circunferência Trigonométrica. Para exemplificar, mediremos um arco de um ângulo qualquer, por exemplo 30°.

Em seguida, traçaremos uma reta perpendicular ao eixo x(das abscissas – paralela ao eixo das ordenadas). Depois faremos o prolongamento da reta que faz o ângulo de 30° com aquela feita inicialmente, criando o ponto T.

Com o encontro das retas OT e OA e os ângulos formados, podemos aplicar o cálculo da tangente em um triângulo retângulo.

Assim, tg 30º = AT/OA

Como OA é o raio da circunferência trigonométrica e possui valor igual a 1, teremos o seguinte:

tg 30º = AT/1

tg 30º = AT

Consequentemente a tangente de 30° será a medida de AT.

Eixo das tangentes

A essa reta perpendicular ao eixo x, daremos o nome de eixo das tangentes. Os valores positivos da tangente estarão acima do ponto A e os valores negativos estarão abaixo do ponto A.

Logo, a tangente de um determinado ângulo α será:

A ordenada do ponto T obtida pela intersecção do prolongamento do raio OM com o eixo das tangentes.

Observação

É importante notar que o ponto M não pode coincidir com o ponto B(90°), visto que é um ponto paralelo ao eixo das tangentes e, consequentemente, nunca encontrará esta reta. Logo, não existe tangente para 90° e 270°.

Mudança de sinais da tangente

Considerando o eixo das tangentes e fazendo os devidos prolongamentos dos arcos, percebemos que as tangente dos primeiro e terceiro quadrantes tem valores positivos e as tangentes dos segundo e quarto quadrantes tem sinais negativos.

Para valores positivos

Para valores negativos

Em resumo, teremos:

Exemplo I – Calcular a tangente de π(pi) e de 0°.
Resolução
Como os pontos π e 0º estão contidos no eixo x, então o ponto de encontro terá o valor 0.
Logo, tg π = 0 e tg 0 = 0

Exemplo II – Determinar o sinal tangente de 20° e de 350°.
Resolução
Devemos verificar em quais quadrantes se encontram os ângulo citados na questão.
20°: Quadrante I (sinal positivo)
350°: Quadrante IV (sinal negativo)

Logo, a tangente de 20° terá sinal positivo e a tangente de 350° terá sinal negativo.

Relação de tangente com seno e cosseno

Em alguns exemplos é interessante sabermos a relação entre tangente, seno e cosseno.

tg α = sen α/cos α

Exemplo I – Calcular sen α e cos α sabendo que tg α = 2, para π < α < 3π/2
Resolução
Sabemos que:
I- tg α = sen α/cos α
II- sen² α + cos²α = 1

Substituindo em I temos:
tg α = sen α/cos α
2 = sen α/cos α
sen α = 2cos α

Substituindo em II temos:
sen² α + cos²α = 1
(2cos α)² + cos²α = 1
4cos²α + cos²α = 1
5cos²α = 1
cos²α = 1/5
cos α = ± √5/5
Como o α pertence ao terceiro quadrante, devemos trabalhar com valores negativos, logo cos α = -√5/5.

Considerando
sen α = 2cos α
sen α = 2(-√5/5)
sen α = -2√5/5

Assim, a resposta será sen α = -2√5/5 e cos α = -√5/5.

Redução ao Primeiro Quadrante

Como sabemos os valores de senos, cossenos e tangentes dos arcos notáveis (30°, 45° e 60°) é interessante buscarmos um mecanismo para calcularmos a tangente dos demais quadrantes. Podemos fazer isso por simetria, utilizando as fórmulas de redução ao primeiro quadrante.

Para reduzirmos um ângulo que esteja no segundo quadrante

tg(180 – α) = -tg α

Para reduzirmos um ângulo que esteja no terceiro quadrante

tg(180 + α) = tg α

Para reduzirmos um ângulo que esteja no quarto quadrante

tg(360 – α) = -tg α

Arcos de medidas opostas

Em outras situações é necessário medirmos os arcos opostos. Para esse casos, temos que

tg (-α) = – tg α

Conclusão

Aprendemos alguns conceitos iniciais sobre a tangente do arco trigonométrico. Vimos também, através de exemplos, quais as principais características e co-relações dos arcos trigonométricos e suas propriedades na circunferência trigonométrica.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna