Progressão Geométrica: conceitos iniciais

O que é uma Progressão Geométrica?

Progressão Geométrica (PG) é qualquer sequência numérica onde cada elemento, a partir do segundo, é igual ao produto do elemento anterior por uma constante q. Esse número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Assim, de modo semelhante a uma progressão aritmética, a progressão geométrica também possui uma constante envolvida em sua estrutura.

Exemplos de PG:

a) (2, 4, 8, 16, 32, …)
Progressão geométrica de razão q = 2

b) (3, -6, -12, 24, -48, …)
Progressão geométrica de razão q = -2

I) Calcular a a razão de uma PG, sendo que o a₃ = 12 e a₄ = 48
Resolução
Para calcularmos a razão de uma PG, devemos dividir um determinado termo pelo seu anterior.
Assim:
q = a₄/a₃
q = 48/12
q = 4

Logo, a razão da progressão geométrica será 4.

Classificando as Progressões Geométricas

As Progressões Geométricas podem ser classificadas em: crescente, decrescente, constante, oscilante e quase nula.

PG Crescente

Em uma PG Crescente, cada termo, a partir do segundo é maior que o termo anterior.
Para isso acontecer, a₁ > 0 e q >1.
Exemplo:
(2, 4, 8, 16,…)

PG Decrescente

Em uma PG Crescente, cada termo, a partir do segundo é menor que o termo anterior.
Para isso acontecer, a₁ > 0 e 0< q <1 ou a₁ < 0 e q >1.
Exemplos
(8, 4, 2, 1, 1/2, …)
q = 1/2

(-1, -2, -4, …)
q = 2

PG Constante

Em uma PG Constante, todos os termos são iguais. Para isso acontecer, sua constante tem que ser igual a 1(q=1).
Exemplo
(5, 5, 5, 5, 5,…)
q= 1

PG Oscilante

Em uma PG Oscilante, todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sinais opostos. Para isso acontecer a₁ ≠ 0 e q < 0.
Exemplo
(2, -4, 8, -16,…)
q= -2

PG Quase Nula

Em uma PG Quase Nula, o primeiro elemento é diferente de zero e os demais elementos são iguais a zero..
Logo, as condições são a₁ ≠ 0 e q = 0.

Propriedade de uma Progressão Geométrica

Em uma PG, se pegarmos uma sequência de três termos em que o primeiro deles é diferente de zero, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Ou seja:

Dada uma PG (a, b, c)
b² = a.c

Exemplo
(2, 4, 8)

4² = 2.8
16 = 16

Fórmula do termo geral de uma Progressão Geométrica

Podemos obter um determinado termo de uma PG através da fórmula do termo geral. Numa progressão geométrica, um termo pode ser obtido em função da razão e do primeiro termo.

Exemplo
Determinar o 15º termo da PG (256, 128, 64, …)
Resolução
Para resolver a questão utilizaremos a fórmula do termo geral. Assim, devemos identificar os itens da fórmula.
a₁ = 256
q = 128/256 = 1/2
a₁₅ = 15
n = 15

a₁₅ = a₁.q^n-1
a₁₅ = 256.(1/2)^15-1
a₁₅ = 256.(1/2)¹⁴
a₁₅ = 256.(1/2)¹⁴
a₁₅ = 2⁸.(1/2¹⁴)
a₁₅ = 2⁸/2¹⁴
a₁₅ = 1/2⁶
a₁₅ = 1/64

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Existe uma fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.

Exemplo
Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12,24,…)

Resolução
Usaremos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG.
Para isso devemos identificar os itens que fazem parte dela.
a₁ = 3
q = 6/3 = 2
n = 10
S₁₀ = ?

S₁₀ = 3(1 – 2¹⁰ )/ (1 – 2)
S₁₀ = 3(1 – 1024 )/ (-1)
S₁₀ = 3(- 1023 )/ (-1)
S₁₀ = (-3069 )/ (-1)
S₁₀ = 3069

Soma dos infinitos termos de uma PG

Outra fórmula importante é a da Soma dos infinitos termos de uma PG. Esse caso é utilizado quando tivermos uma razão decimal, ou seja -1 < q < 1.

Exemplo
Calcular a soma dos infinitos termos da PG (5, 5/2, 5/4, …)
a₁ = 5
q = 5/2 / 5
q = 5/10
q = 1/2

S = a₁/(1-q)
S = 5/(1-1/2)
S = 5/(1/2)
S = 10

Conclusão

Nesse artigo estudamos as progressões geométricas, um dos tipos de sequências numéricas assim como as progressões aritméticas. Aprendemos o conceito de PG, suas classificações, a fórmula do termo geral, da soma dos n primeiros termos e da soma dos infinitos termos

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna