Relações Métricas do Triângulo Retângulo e sua Importância

Antes de analisarmos as Relações Métricas do Triângulo Retângulo, precisamos entender a importância dos triângulos.
O triângulo, como visto em outro artigo, é uma das figuras mais estudadas na geometria.
Existem diversos tipos de triângulos mas, sem dúvida, o que é mais analisado é o triângulo retângulo.
O triângulo retângulo é o triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, de 90º. E, a partir dessa característica, os matemáticos conseguiram extrair 4 relações métricas que vamos estudar a seguir.

Triângulo Retângulo de Referência

Para nossos estudos das relações métricas do triângulo retângulo iremos utilizar o triângulo ABC abaixo como referência.

Relações Métricas do Triângulo Retângulo: Triângulo de Referência

Onde:
AB e AC são os catetos adjacentes ao ângulo reto
BC é a hipotenusa

Primeira relação

A medida de um cateto é a média geométrica entre as medidas da hipotenusa e sua projeção sobre ela. Assim:

1. Para o cateto de medida c e projeção de medida n:

c² = a . n

2. Para o cateto de medida b e projeção de medida m:

b² = a . m

Segunda relação

A altura de um triângulo retângulo é a média geométrica entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Sendo h a altura e m e n as projeções temos o seguinte:

h² = m . n

Terceira relação

O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura correspondente a ela. Assim:

b . c = a . h

Quarta relação

A quarta relação é o famoso Teorema de Pitágoras. Assim, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de cada cateto.

a ² = b ² + c ²

Exemplo

Calcule a medida de x e de y no triângulo retângulo abaixo.

Relações Métricas do Triângulo Retângulo: Exercício

Resolução
y é a medida de hipotenusa e será a soma das duas projeções dos catetos, ou seja, 9 e 3.

y = 9 + 3

y = 12

Para calcularmos o valor de x, utilizaremos a primeira relação métrica, que envolve o cateto, hipotenusa e projeção:

b² = a . m

Substituindo os valores:

x² = 12 . 3

x² = 36

x = 6

Assim, x mede 6 e y mede 12.

Conclusão

Nesse artigo estudamos o triângulo retângulo e aprendemos sobre suas 4 relações métricas.
Vimos conceitos de catetos, projeções, altura e hipotenusa e como eles se interagem nas relações métricas.
Aplicamos o conhecimento adquirido resolvendo um exercício modelo.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!