Arranjos simples na análise combinatória
Os arranjos simples são formas de agruparmos certos elementos levando em conta sua ordem e natureza.
Assim, em um arranjo simples, a ordem dos elementos é importante. Isso porque um elemento, por exemplo, formado pelas letras AB é diferente do elemento BA.
Em termos mais formais, temos que o arranjo simples será:
Um agrupamento de n elementos tomados de p a p (com n>=1 e p um número natural), onde qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos se diferem pela ordem e natureza.
Os arranjos simples podem ser calculados utilizando o princípio fundamental da contagem ou através da fórmula a seguir:
Por exemplo:
A5,3 =
5!/(5-3)! =
5!/2! =
(5 x 4 x 3 x 2!)/2! = 5 x 4 x 3 = 60
Veremos agora alguns exemplos de arranjos simples através de exercícios resolvidos.
1.Um campeonato de futebol é disputado por 5 equipes e serão premiados os dois primeiros colocados(campeão e vice, cada um com valores diferentes). De quantas manerias distintas a premiação poderá ser distribuída?
Resolução
O total de elementos do conjunto(equipes) será 5. Ou seja, n = 5.
Nesse caso a ordem de premiação importa, pois teremos que o campeão é diferente do vice campeão.
Os elementos estarão dispostos de 2 a 2. Ou seja, p = 2.
Assim, teremos a seguinte expressão:
A5,2 = 5!(5-2)! = 5!/3! = (5x4x3!)/3! = 5 x 4 = 20
Portanto, teremos 30 possibilidades de distribuição da premiação, considerando o primeiro e o segundo colocado.
2. (Ufmg 95) Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, será:
Resolução
O número de elementos no caso será dado pelo número de cadeiras. Assim, o n será igual a 50.
Como são 2 alunos que irão preencher os lugares, tomaremos o arranjo de 2 a 2. Logo o p será igual a 2.
Armando a fórmula:
A50,2 = 50!/(50-2)! = 50!/48! = (50 x 49 x 48!)/48! = 50 x 49 = 2450
Logo, o número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras será 2450.
3. (Ufba 96) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.
Resolução
Os elementos dispostos são 6: 1, 2, 3, 4, 6 e 8.
Contudo, algumas restrições serão impostas:
1 – Os números deverão ser ímpares
2 – Os algarismos deverão ser distintos
Como o número deverá ser ímpar, então deveremos restringir o último dígito aos elementos 1 ou 3 (2 possibilidades ou 2!).
As possibilidades dos outros dois algarismos deverão ser calculados através da fórmula do arranjo simples.
Porém, como retiramos um elemento, o n será igual a 5 e o p será igual a 2 na fórmula.
A5,2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = = (5 x 4 x 3!)/3! = 5 x 4 = 20.
Para os 2 primeiros algarismos teremos 20 possibilidades. Para o último teremos 2! ou 2 possibilidades.
O resultado final será obtido através da multiplicação de 20 por 2, que será igual a 40.
Assim, a quantidade de números que poderá ser formada será 40 (x = 40).
Referência
DICA CASA DA MATEMÁTICA
Aprenda com o Monografis a fazer seu TCC com escrita à prova de plágio sem se preocupar com normas ABNT, seguindo um roteiro já aprovado e ainda receber elogios de familiares e amigos.
Junte-se aos mais de 10 mil alunos do Monografis que tiveram êxito em seus trabalhos de conclusão
O Monografis possui acesso vitalício, online e acessível a partir de qualquer dispositivo.
Além disso, o curso tem compra segura e garantia de 30 dias. E agora com a facilidade de parcelar em até 12x.
Venha conferir o Monografis, o orientador de TCC, e conquistar a aprovação de sua monografia e trabalho de conclusão de curso.
