Aprendendo a resolver inequações trigonométricas em seno ou cosseno

O que são inequações trigonométricas em seno ou cosseno

As inequações trigonométricas em seno ou cosseno são inequações do tipo:
a) sen x > k
b) sen x < k
c) sen x ≤ k
d) sen x ≥ k
e) cos x > k
f) cos x < k
g) cos x ≤ k
h) cos x ≥ k

Sendo o k um valor qualquer(constante real).

Para resolvê-las algumas técnicas podem ser utilizadas, como a técnica de análise gráfica ou a através do uso de inequações polinomiais.

Técnica de análise gráfica para resolver inequações trigonométricas em seno ou cosseno

Para utilizarmos a análise gráfica, devemos desenhar a circunferência trigonométrica e inserir o valor passado para descobrir o arco trigonométrico. Em seguida identificar o setor que satisfaça à inequação e anotar as medidas encontradas.

Exemplo I – Solucionar a seguinte inequação trigonométrica: sen x ≥ 1/2, para 0 ≤ x ≤ 2π
Resolução
Primeiramente devemos solucionar a equação trigonométrica sen x = 1/2 e obtermos os arcos os quais o seno é igual a 1/2.
Em seguida os identificaremos no círculo trigonométrico. Por fim analisaremos o eixo em questão. Como o exemplo falou sobre o seno e as medidas dele estão no eixo do y, a solução será o o intervalo de valores acima da linha do 1/2.

Arcos do seno = 1/2
π/6 e 5π/6

Como a questão pede que o sen x ≥ 1/2, então a solução será o intervalo fechado entre π e 5π/6.
Logo a solução para a inequação será:

S = {π/6 ≤ x ≤ 5π/6}

Exemplo II – Solucionar a seguinte inequação trigonométrica: cos x < 1/2,  para 0 ≤ x ≤ 2π.
Resolução
I) Identificar os arcos no quais o cos é igual a 1/2: π/3 e 5π/3.
II)Marcar no círculo trigonométrico os arcos.
III) Identificar a área a qual pertence os valores do cosseno que satisfaçam a inequação. Como o exemplo fala de cosseno, será analisado o eixo x.
IV) Preencher a área com os valores satisfatórios. No caso são os que possuem cosseno menor que 1/2.

Como a questão pede que o cos x < 1/2, então a solução será o intervalo aberto entre π/3 e 5π/3..
Logo a solução para a inequação será:

S = {π/3 < x < 5π/3}

Técnica para resolução de inequações trigonométricas através de inequações polinomiais

Essa técnica consiste no uso de mudança de variáveis e identificação dos intervalos de solução.

Exemplo – Resolver a inequação 2 cos ² – cos x < 0,  para 0 ≤ x ≤ 2π.
Resolução
Para resolver essa inequação, devemos fazer a mudança de variável: cos x = t.
Assim,
2 t ² – t < 0

Devemos agora resolver a inequação do segundo grau e analisar o gráfico construído de acordo com o intervalo da questão. Nela, os pontos que marcam o eixo x(raízes da inequação) são 0 e 1/2, dentro de um intervalo aberto.

Agora identificaremos os arcos que possuem valores de cosseno = 0 e cosseno = 1/2.
a) Cosseno = 0 : π/2 e 3π/2
b) Cosseno = 1/2 : π/3 e 5π/3

Inserir na circunferência trigonométrica os valores encontrados.

Portanto a solução serão dois intervalos
I – π/3 < x < π/2
II – 3π/2 < x < 5π/3

S = {π/3 < x < π/2 ou 3π/2 < x < 5π/3}

Conclusão

Aprendemos sobre as inequações trigonométricas em seno ou cosseno. Analisamos também, através de exemplos, quais são os mecanismo utilizados para resolvê-las.

Referências

Matemática – Volume Único, 1ª edição – Manoel Paiva – Editora Moderna