Entendendo a estrutura do Logaritmo

Quando falamos do estudo de equações exponenciais, logo as associamos ao estudo de logaritmo, visto que este é uma das principais ferramentas para auxiliar a resolução de equações exponenciais.

Em diversas áreas o logaritmo tem importante participação. Quando calculamos o ph e o pOH na química, fazemos uso dos logaritmos. No cálculo da escala Richter, é utilizada uma escala logarítimica arbitrária, com base 10, a qual quantifica a magnitude de um terremoto.

Para aprendermos sobre logaritmo precisamos enteder como eles funcionam e sua estrutra.
Assim, primeiramente, devemos considerar a e b como números reais, com a ≠ 1.
Teremos então o logaritmo de b na base a o número real x tal que a^x = b.

Nessa estrutura, temos o b sendo o logaritmando (ou antialgoritmo), o x sendo o logaritmo, e o a sendo a base do logaritmo.

Resumindo a estrutura:

Logo, o logaritmo de um número é o expoente ao qual se deve elevar a base para se obter o número. Sempre considerando o logaritmo sendo um número positivo e a base um número positivo e diferente de 1.

DICA: para o aprendizado de logaritmos é fundamental ter uma boa base de potenciação e entender suas propriedades.

Exemplos de exercícios de logaritmos

Calcule log₂32 = x

Solução
log₂32 = x
2^x = 32
2^x = 2⁵
(2)^x = (2)⁵

Assim x = 5.

Calcule log₂₅5 = x

Solução
log₂₅5 = x
25^x = 5
(5⁵)^x = 5

Aplicando a propriedade relativa à potência de potência:

(5)^5x = 5¹
5x = 1
x = ¹/₅

Assim, x = ¹/_5.

Calcule log_0,10,01 = x

Solução
log_0,10,01 = x
Transformando os números decimais em frações:

log_¹/10¹/₁₀₀ = x

(¹/₁₀)^x = ¹/₁₀₀

(10^-1)^x = 10^-2

(10)^-x = 10^-2

-x = -2 .(-1)
x = 2

Assim, x = 2.

Propriedades dos logaritmos

1ª Propriedade – O logaritmo de 1 é igual a zero

log_a1 = 0, visto que a⁰ = 1

2ª Propriedade – O logaritmo de número com mesma base é igual a 1

log_aa = 1, visto que a¹ = a

3ª Propriedade – Expoente com logaritmo de base igual à base da potência

a^log_ab = b

Exemplo
5^log₅100 = 100

4ª Propriedade – Igualdade de logaritmos de mesma base

Se log_ab =log_ac, então b = c

Exemplo
log₉(2x – 4 ) =log₉(x + 5)
Solução
Primeiramente temos que analisar as restrições:
I)  2x – 4 > 0
2x > 4
x > 2

II) x + 5 > 0
x > – 5

Agora resolveremos aplicando a 4ª propriedade

2x – 4 = x + 5
2x – x = 5 + 4
x = 9
Como x igual a 9 satisfaz às duas restrições, então:

S = {9}

5ª Propriedade – O logaritmo de um produto igual à soma dos logaritmos dos fatores de mesma base

log_a(b.c) = log_ab + log_ac

Exemplos
a) log₄(6.9) = log₄6 + log₄9
b) log₂(2.5.7) = log₂2 + log₂5 + log₂7

6ª Propriedade – O logaritmo de um quociente igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor de mesma base

log_a^b/_c = log_ab – log_ac

Exemplos
log₄⁹5_c = log₄9 – log₄5
log₅⁵3_c = log₅5 – log₅3

7ª Propriedade – Logaritmo de uma potencia

log_ab^m = m. log_ab

Exemplos
log₄2³ = 3. log₄2
log₅7^-2 = (-2). log₅7

8ª Propriedade – Mudança de base

Em algumas questões é bastante útil transformar o logaritmo de um número em uma determinada base para uma outra base.
Para isso temos a seguinte propriedade:

log_ab = ^log_cb/_logca

Caso particular de mudança de base(inversão de base):

log_ab = ¹/_logba

Exemplo: Transformar em logaritmos de base 10.

a) log₄8 = ^log₁₀8/_log104
b) log₃7 = ^log₁₀3/_log107

Conclusão

Aprendemos nesse artigo sobre os logaritmos.
Vimos como é a estrutura de logaritmo e suas propriedades, as quais foram aplicadas em alguns exemplos.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!

Referência

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola
Logaritmo – Info Escola

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