Confira 8 exercícios resolvidos de poliedros envolvendo o Teorema de Euler e o cálculo de faces, vértices e arestas.
Antes de apresentarmos os exercícios resolvidos de poliedros precisamos explicar a importância deles na geometria espacial e nos certames e concursos.
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Questões envolvendo Geometria Espacial e Poliedros são muito comuns em concursos e vestibulares, visto que exigem um certo grau de análise de informações e boa capacidade de interpretação e dedução.
Em diversas situações de provas os poliedros são abordados juntamente com o Teorema de Euler e o cálculo de vértices, arestas e faces.
Com o intuito de ajudar o aluno a compreender o tema, seguem 8 exercícios resolvidos de poliedros e Relação de Euler.
1. (Unitau) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é:
a) a2
b) √3a2
c) 4a2
d)√5a2
e)√2a2
Resolução
Em um tetraedro regular existem 4 faces com triângulos equiláteros.
Área do triângulo equilátero:
A = (l2 √3)/4 , onde l é a medida do lado do triângulo equilátero.
Como a aresta equivale ao lado, então l = a
A = (a2 √3)/4
Como um tetraedro tem 4 faces triangulares, então a soma S das áreas de suas faces será:
S = 4 X (a2 √3)/4
Simplificando:
S =a2 √3 ou √3a2
Resposta: item b
2. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.
a) 6
b) 4
c) 5
d) 12
e) 9
Resolução
I) Calculando a soma dos ângulos de um polígono
A soma dos ângulos internos de um polígono é dado por:
S = (n – 2) x 180, onde n é a quantidade de lados do polígono.
Consideraremo a quantidade de faces de um poliedro pela letra F. Assim:
F x (N-2) x 180 = 720
Simplificando
F x (N – 2 ) = 4
II) O número de arestas é igual a metade da quantidade de lados vezes a quantidade de faces.
(F x N)/2 = A
F x N = 2 x A
III) Como a questão diz que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, então:
F = (2/3) x A
Ajustando
3 x F = 2 x A
Como temos as seguintes expressões:
3 x F = 2 x A e F x N = 2 x A, podemos fazer as substituições a seguir:
F x N = 3 x F. Assim temos:
N = 3
Substituindo em F x (N – 2 ) = 4
F x (3-2)= 4
F x 1 = 4
F = 4
Resposta: item B
3. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução
Temos 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal
Total de faces: 4 + 2 + 1 = 7 faces
Calculando o número de arestas:
Para calcular o número de arestas, devemos calcular o número de lados das faces:
4 Faces triangulares(3 lados): 4 x 3 = 12
2 Faces quadrangulares(4 lados): 2 x 4 = 8
1 Face hexagonal (6 lados): 1 x 6 = 6
Total de lados = 12 + 8 + 6 = 26
Como os lados compartilham os mesmo lados, o número de arestas será o número de lados/2.
Assim
A = 26/2 = 13 arestas
Aplicando a Relação de Euler:
V + F = A + 2
V + 7 = 13 + 2
V + 7 = 15
V = 15 – 7 = 8 vértices
Resposta: item C
4. (Ufpe) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro
Resolução
O número de faces será 10 + 10 + 1 = 21
O número de arestas será o número de lados /2
Calculando o número de lados
10 Faces de três lados: 10 x 3 = 30
10 Faces de quatro lados: 10 x 4 = 40
1 Face de dez lados: 1 x 10 = 10
Total de lados: 30 + 40 + 10 = 80 Lados
Número de arestas = 80/2 = 40 arestas
Aplicando a fórmula de Euler
V + F = A + 2
V + 21 = 40 + 2
V + 21 = 42
V = 42 – 21 = 21 vértices
5. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44
Resolução
Continuando com exercícios resolvidos de poliedros. Número de vértices do poliedro V = 14
Calculando o número de lados(concorrentes) do polígono
6 x 4 = 24
4 x 3 = 12
4 x 5 = 20
Total de lados concorrentes: 56
Como um lado concorre com duas faces, devemos dividir por dois para calcular a quantidade de arestas
A = 56/2 = 28
Aplicando a relação de Euler:
V + F = A +2
14 + F = 28 + 2
14 + F = 30
F = 30 – 14
F = 16
Resposta: item A
6. (Pucpr) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Resolução
Número de lados = F x 3
Número de arestas:
A = (F x 3) /2
Quantidade de vértices informada pela questão:
V = (3/5)F
Aplicando o Teorema de Euler
V + F = A + 2
(3/5)F + F = (F x 3)/2 + 2
(3F + 5F)/5 – (3F)/2 = 2
(6F + 10F – 15F)/10 = 2
6F + 10F – 15 F = 20
F = 20
Substituindo:
A = (F x 3) /2
A = (20 x 3)/2 = 30 Arestas
Resposta: item B
7. (Pucrs) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução
Número de faces = 2 + 5 = 7
Calculando o número de lados:
2 faces pentagonais(5 lados) = 2 * 5 = 10
5 faces quadrangulares(4 lados) = 5 *4 = 20
Número de lados (L) = 10 + 20 = 30
Total de arestas = L/2 = 30 /2 = 15
Aplicando a relação de Euler:
V + F = A + 2
V + 7 = 15 + 2
V + 7 = 17
V = 17 – 7 = 10 vértices
Resposta: item E
8. (Ufc) Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, então, o número de faces triangulares é:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
Calculando o número de faces através da relação de Euler
V + F = A + 2
10 + F = 20 + 2
F = 22 – 10 = 12 faces
Número de faces triangulares = X
Número de faces quadrangulares = Y
X + Y = 12 → X = 12 – Y
X*3 + Y*4 = 2 * 20
X*3 + Y*4 = 40
(12 – Y)*3 + 4Y = 40
36 – 3Y + 4Y = 40
36 + Y = 40
Y = 40 -36 = 4
X + Y = 12
X + 4 = 12 → X = 12-4 = 8
Número de faces triangulares = 8
Resposta: item E
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