Como é o Teorema de Euler?

Saiba o que é o Teorema de Euler e aprenda a calcular quantas faces, arestas e vértices tem um poliedro.

Como é o teorema de Euler - Poliedros

Nos poliedros convexos(onde qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estará totalmente contido nele), existe uma forma de relacionar suas faces, vértices e arestas.

É a chamada relação de Euler(ou Teorema de Euler). Ela é uma “fórmula matemática” que associa a quantidade de vértices, faces e o arestas de um poliedro convexo.
Essa relação é mostrada a seguir:

V + F = A + 2

Além dos poliedros convexos essa relação também é válida para alguns não-convexos.

A partir disso, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (obedece a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Exercícios resolvidos relacionados ao Teorema de Euler

Para consolidar o entendimento sobre a Relação de Euler, veremos algumas questões sobre o tema e suas resoluções passo a passo.

Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?

Resolução

Essa é uma questão clássica relativa a poliedros e ao Teorema de Euler.

V + F = A + 2

Informações coletadas na questão:

Número de vértices: 18

Número de faces: 16

Número de arestas: ?

Aplicando a Relação de Euler:

V + F = A + 2

18 + 16 = A + 2

34 = A + 2

A + 2 = 34

A = 34 – 2

A = 32

Logo o número de arestas desse poliedro será 32.

(PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o
número de vértices deste poliedro são, respectivamente:

Resolução

Como é uma questão que envolve poliedros, faces, lados e arestas, o Teorema de Euler é o mais indicado para sua resolução.

V + F = A + 2

Contudo a quantidade de arestas é informada indiretamente, sendo necessário calculá-la a partir do número de lados.

Calculando o número de lados
5 faces triangulares(3 lados) = 5 x 3 = 15
3 faces pentagonais (5 lados) = 3 x 5 = 15

Total de lados(L) = 15 + 15 = 30
Total de faces = 5 + 3 = 8

Como os lados são compartilhados entre as faces, a quantidade de aresta será a metade do número de lados.

A = L/2

A = 30/2 = 15

No poliedro existem 15 arestas.

O número de faces: 8

Aplicando Teorema de Euler:

V + F = A + 2
V + 8 = 15 + 2
V + 8 = 17
V = 17 – 8
V = 9

O número de vértices será igual a 9.

Portanto, o número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente: 15 e 9.

Referências

+ Plus Magazine