Veja passo a passo a explicação de 6 exercícios resolvidos de progressão aritmética
Entenda como foram feitos alguns exercícios resolvidos de progressão aritmética de algumas universidades no Brasil.
1.(Fuvest) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 10 11 12 13 14 15 16 17 18 | 19 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ____ __ |
O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o número 500 se encontra são, respectivamente:
a) 2 e 2.
b) 3 e 3.
c) 2 e 3.
d) 3 e 2.
e) 3 e 1.
Resolução
Primeiramente deveremos identificar em qual grupo o número 500 está.
Como cada grupo possui 9 algarismos, deveremos dividir o número em questão por 9.
Em seguida pegaremos a parte inteira dessa divisão. Se a divisão for exata, o resultado é o grupo que ele pertence.
Se a divisão não for exata, pegaremos a parte inteira e acrescentaremos 1.
Por exemplo:
I) Identificar em qual grupo está o número 10.
A divisão de 10 por 9 tem 1 como parte inteira.
Como não foi uma divisão exata, somaremos essa parte inteira com mais 1.
Assim 1 + 1 = 2. Logo o número 10 estará no grupo 2.
II) Identificar em qual grupo está o número 18.
A divisão de 18 por 9 tem 2 como parte inteira.
Como foi uma divisão exata. O número 18 estará no grupo 2.
III) Identificar em qual grupo está o número 19.
A divisão de 19 por 9 tem 2 como parte inteira.
Como não foi uma divisão exata, somaremos essa parte inteira com mais 1.
Assim 2 + 1 = 3. Logo o número 19 estará no grupo 3.
Vamos agora identificar em qual grupo estará o número 500.
A divisão de 500 por 9 tem 55 como parte inteira.
Como não foi uma divisão exata, somaremos essa parte inteira com mais 1.
Assim 55 + 1 = 56. Logo o número 500 estará no grupo 56.
Cada número a partir do segundo grupo, tem suas posições espelhadas em relação ao primeiro grupo de acordo com uma progressão aritmética de razão 9.
Por exemplo, o número 15 do grupo dois é espelhado com o número 6 do grupo 1, como uma progressão aritmética de razão 9 e a1 = 6 . Pois 6 + 9 = 15.
O número 19 do grupo três é espelhado com o número 3 do grupo 1, como uma progressão aritmética de razão 9 e a1 = 6 (3 + 2.9 = 19).
Para saber em qual posição do grupo um determinado número está, devemos identificar o primeiro termo(a1) do primeiro grupo.
Pelo termo geral de uma progressão aritmética, temos que:
an = a1 + (n-1).r
an = 500
n = 56
r = 9
500 = a1 + (56-1).9
500 = a1 + (55).9
500 = a1 + 495
a1 + 495 = 500
a1 = 500 – 495
a1 = 5
O número 5 ocupa a linha 2 e coluna 2 do grupo 1. Assim, por espelhamento, o número 500 também estará na linha 2 e coluna 2.
Resposta: letra A.
2. (Unirio) As idades inteiras de três irmãos formam uma P.A., e a soma delas é igual a 15 anos. A idade máxima, em anos, que o irmão mais velho pode ter é:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
Resolução
A idade dos irmãos formam uma progressão aritmética de razão “r”. Consideraremos o irmão do meio com idade “a”.
Assim:
Primeiro irmão : a – r
Segundo irmão: a
Terceiro irmão: a + r
As suas idades somadas é igual a 15.
a – r + a + a + r = 15
3a = 15
a = 15/3
a = 5
O irmão do meio deverá ter 5 anos.
Para o mais velho ter a maior idade, o irmão mais novo deverá ter 1 ano.
Logo:
O primeiro irmão terá 1
O irmão do meio terá 5
O irmão mais velho terá X
A soma dos três é 15:
1 + 5 + x = 15
6 + x = 15
x = 15 – 6
x = 9
Resposta: letra B.
3. (Unesp) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é
a) 400.
b) 410.
c) 420.
d) 800.
e) 840.
Resolução
Deveremos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.
S20 = (a1 + an ).n/2
O n será igual a 20, pois é o total de filas.
o a1 será igual a 1, que é o número de alunos na primeira fila
A razão será igual a 3 – 1 = 2
Para sabermos o a20, aplicaremos a fórmula do termo geral da P.A.
an = a1 + (n-1).r
a20 = 1 + (20-1).2
a20 = 1 + (19).2
a20 = 1 + 38
a20 = 39
Aplicando a fórmula da soma de uma P.A.
Sn = (a1 + an).n/2
S20 = (1 + a20).20/2
S20 = (1 + 39).20/2
S20 = (40).20/2
S20 = 40.10
S20 = 400
Resposta: letra A.
4. (Ufscar) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Resolução
a1 = a
a2 = a+r
a3 = a+2r
a4 = a+3r
a5 = a+4r
5a + 10r = 15
5(a+2r) = 15
a+2r = 3
Como o a+2r é o terceiro termo da P.A., então o a3 é igual a 3.
a1 ,a2 , 3 , a4, a5
Para o produto dos 5 termos ser zero, algum dos termos deverá ser igual a 0.
Como a razão é inteira e positiva e o a3 é igual a 3, então o a4 e o a5 são números positivos.
Portanto, a1 ou a2 deverá ser igual a 0.
Se o a1 = 0
a3 = a+2r = 3
0+2r = 3
2r = 3
r = 3/2
r = 1,5
Não é aceitável, pois a razão deverá ser um número inteiro e positivo.
Logo o a2 deverá ser igual a zero.
Resposta: letra A.
5. (Ufal) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será
a) 36 anos.
b) 38 anos.
c) 42 anos.
d) 45 anos.
e) 48 anos.
Resolução
Um dos exercícios resolvidos de progressão que requer um pouco mais de atenção.
Deveremos fazer a seguinte representação:
Primeira pessoa: a – r
Segunda pessoa: a
Terceira pessoa: a + r
Daqui a 3 anos
Primeira pessoa: a – r + 3
Segunda pessoa: a + 3
Terceira pessoa: a + r + 3
Nesse tempo, a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem.
a + r + 3 = 2.(a – r + 3)
a + r + 3 = 2a – 2r + 6
a + 5 + 3 = 2a – 2.5 + 6
a + 8 = 2a – 10 + 6
a + 8 = 2a – 4
2a – 4 = a + 8
2a – a = 8 + 4
a = 12
Primeira pessoa: a – r = 12 – 5 = 7
Segunda pessoa: a = 12
Terceira pessoa: a + r = 12 + 5 = 17
A soma das idades nessa época será:
(7+3) + (12+3) + (17+3) =
10 + 15 + 20 = 45
Resposta: letra D
6. (Ufc) A soma dos 15 primeiros termos de uma Progressão Aritmética é 150. O 8° termo desta P.A. é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
Resolução
Obter o a15 em função de a1:
an = a1 + (n-1).r
a15 = a1 + (15-1).r
a15 = a1+ 14.r
A fórmula para acharmos o oitavo termo de uma P.A. é
a8 = a1 + (8-1).r
a8 = a1 + 7r
Utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética.
Sn = (a1 + an).n/2
S15 = (a1 + a15)15/2
S15 = (a1 + a1 + 14.r)15/2
S15 = (2a1 + 14.r)15/2
150 = (2a1 + 14.r)15/2
(2a1 + 14r)15 = 150.2
(2a1 + 14r) = 10.2
(2a1 + 14r) = 20
2(a1 + 7r) = 20
(a1 + 7r) = 10
Como a1 + 7r equivale ao oitavo termo, então a8 é igual a 10.
Resposta: letra A.
Acabamos de ver 6 exercícios resolvidos de progressão aritmética das mais variadas situações. Eles ajudarão a ter uma compreensão melhor do assunto quando aparecer em provas de matemática.
