Inequações do 2º grau e suas fórmulas gerais

As inequações do 2º grau na variável x são são todas as inequações que podem ser reduzidas às seguintes estruturas:

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≤ 0

ax² + bx + c < 0

Onde a,b e c são números reais quaisquer, com a ≠ 0.

Resolvendo Inequações do 2º grau

A resolução de inequações do 2º grau envolve, inicialmente, o estudo do sinal da seguinte função:

y = ax² + bx + c

Após a análise do sinal, devemos determinar os valores de x da função que satisfaçam alguns dos seguintes critérios:

y ≥ 0

y > 0

y ≤ 0

y < 0

Veremos a seguir 3 exemplos de inequações de 2º grau e suas respectivas resoluções.

1. Resolva a seguinte inequação x² – 5x + 4 ≥ 0

Solução
Vamos começar estudando os sinais da inequação. Para isso devemos calcular os valores do delta e das raízes para esboçarmos o gráfico.
a = 1
b = -5
c = 4
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (-5)² – 4.1.4
Δ = 25 – 16
Δ = 9

Calculando a raiz de delta:
√Δ = √9 = +3 e -3

Valores de x

x = (-b + √Δ )/ 2.a
x = (-[-5] + 3)/ 2.1
x = (5+3)/2
x = 8/2
x = 4

x = (-b – √Δ )/ 2.a
x = (-[-5] – 3)/ 2.1
x = (5 – 3)/ 2
x = 2/ 2
x = 1

O gráfico da função ficou assim:

Como a inequação pede que y ≥ 0, devemos selecionar a região do plano cartesiano onde tal requisito seja atendido, ou seja, quando x ≥ 4 ou x ≤ 1.

S ={x ∈ ℜ | x ≥ 4 ou x ≤ 1 }

2. Resolva a seguinte inequação x² – 4x + 4 > 0

Solução
Iniciando o estudo dos sinais da inequação:
a = 1
b = -4
c = 4
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (-4)² – 4.1.4
Δ = 16 – 16
Δ = 0
Como o Δ foi zero, só teremos uma raiz real.

Valor de x

x = (-b + √Δ )/ 2.a
x = (-[-4] + 0)/ 2.1
x = (4/2
x = 4/2
x = 2
x = 2

O gráfico da função ficou assim:

Como visto no gráfico, qualquer valor de x fará com que y > 0, com exceção do número 2, que está em cima da reta x e assim fará com que o valor de y seja igual a zero.

S ={x ∈ ℜ | x ≠ 2 }

3. Resolva a seguinte inequação 2x² + x + 2 > 0

Solução
Iniciando o estudo dos sinais da inequação:
a = 2
b = 1
c = 2
Δ = b¹ – 4.a.c
Δ = (1)² – 4.2.1
Δ = 1 – 8
Δ = -7
Como o Δ foi negativo, não teremos raízes reais. Logo, a parábola não tocará o eixo x e terá concavidade para cima (a>0).

O gráfico da função ficou assim:

Como a inequação pede y >0, qualquer valor de x irá satisfazer essa condição.

S = ℜ

Conclusão

Aprendemos nesse artigo como é a estrutura típica de uma inequação de 2º grau. Vimos os requisitos necessários para resolvê-las e analisamos os gráficos de suas respectivas funções, utilizando 3 exemplos práticos.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!

Refrências

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola