Aprenda a resolver inequações modulares através de 3 exercícios

Dando sequência ao estudo de equações modulares, aprenderemos agora sobre inequações modulares. Veremos sua estrutura e analisaremos 3 exercícios sobre o tema, mostrando a solução passo a passo.

Propriedades das inequações modulares

Para resolvermos essas inequações devemos seguir as orientações do quadro abaixo:

Pelo que foi visto acima, é algo semelhante às equações modulares. Para vermos como essas propriedades são aplicadas na prática, veremos agora 3 exercícios e suas respectivas resoluções.

1. Resolva a inequação |2x + 1| > 5

Solução
De acordo com a primeira propriedade(pois a inequação possui o elemento ‘<‘), deveremos separar a inequação em duas inequações.
Primeira inequação: 2x + 1 < -5
2x + 1 < -5
2x < -5 – 1
2x < -6
x < -6/2
x < -3

Assim, no primeiro caso o x será menor que -3.

Segunda inequação: 2x + 1 > 5
2x + 1 > 5
2x > 5 -1
2x > 4
x > 4/2
x > 2

Na segunda inequação o x será maior que 2.

Agora deveremos realizar a união dos intervalos das duas soluções:

Depois de fazermos a união dos dois intervalos, temos que x  < -3 ou x > 2.

2. Resolva a inequação |x – 2| < 6

Solução
De acordo com a segunda propriedade(pois a inequação possui o elemento ‘>’), a inequação modular deverá ficar no seguinte intervalo: -6 < x – 2 < 6.

Para resolvermos, separaremos em duas inequações.

Primeira inequação: x – 2 < 6
x – 2 < 6
x < 6 + 2
x < 8

Aqui, o x será menor que 8.

Segunda inequação: x – 2 > -6
x – 2 > -6
x > -6 + 2
x > -4

Nessa segunda inequação o x será maior que -4.

Para as inequações modulares que são resolvidas de acordo com a segunda propriedade, deveremos realizar a intersecção dos intervalos das respostas, como na imagem abaixo:

A solução da inequação estará no seguinte intervalo: -4 < x < 8.

3. Resolva a inequação |x² – 10x + 20| < 4

Solução
De acordo com a segunda propriedade(pois a inequação possui o elemento ‘>’), a inequação modular deverá ficar no seguinte intervalo: -4 < x² – 10x + 20 < 4.

Para resolvermos, separaremos em duas inequações.
Primeira inequação: x² – 10x + 20 > -4
x² – 10x + 20 > -4
x² – 10x + 20 + 4 > 0
x² – 10x + 24 > 0

Para fazermos o estudo do gráfico, faremos f(x) = x² – 10x + 24 > 0 e calcularemos as raízes aplicando os aplicando os conhecimentos sobre inequações do segundo grau .

Raízes obtidas de f(x)  serão: x = 4 ou x = 6

Segunda inequação: x² – 10x + 20 < 4
x² – 10x + 20 < 4
x² – 10x + 20 -4 < 0
x² – 10x + 16 < 0

Fazendo g(x) = x² – 10x + 16 < 0 teremos as seguintes raízes: x =2 ou x = 8

A partir de f(x) e g(x) construiremos o gráfico para analisarmos os intervalos e sinais:

Agora, de acordo com a segunda propriedade (p2) basta fazermos a intersecção dos intervalos para obtermos a solução.

No caso a resposta será 2 < x < 4 ou 6 < x < 8.

Conclusão

Estudamos no artigo inequações modulares. Vimos como é sua estrutura e suas propriedades.
Analisamos 3 exercícios de inequações modulares nos mais variados cenários e as resolvemos passo a passo.

Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!

Refrências

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola