O que são Sistemas de Equações
Sistemas de equações são conjuntos de duas ou mais expressões matemáticas envolvendo mais de uma variável.
Para resolver o sistema, devemos descobrir os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
Exemplo de sistema de equações
Para resolver esse sistema, devemos descobrir os valores de X e Y onde a soma deles seja 31 e a diferença seja 5.
Com resolver Sistemas de Equações
Um dos métodos para resolvermos um sistema de equações é por substituição, quando isolamos uma das incógnitas e substituímos os valores.
Para resolvermos o exemplo anterior, devemos escolher uma das expressões e isolar um dos termos:
Isolando o X na segunda expressão:
X = 5 + Y;
Agora vamos substituir onde tiver o Y na primeira equação:
X + Y = 31
(5 + y) + y = 31
5 + 2Y = 31
2Y = 31 – 5
2Y = 26
Y = 26/2
Y = 13
Com o valor de Y descoberto, vamos substituir na outra equação:
X – Y = 5
X – 13 = 5
X = 5 + 13
X = 18
Resolvendo problemas envolvendo Sistemas de Equações
A seguir iremos resolver 2 exemplos de problemas envolvendo sistemas matemáticos de primeiro grau.
1. Maria e José possuem juntos R$ 45.800,00. Quanto possui cada um, sabendo-se que o dobro do que possui Maria, adicionando com a metade do que possui José, é R$ 50.350,00 ?
Solução
Vamos considerar a quantidade de Maria como sendo a variável X e a quantia de José como sendo a variável Y.
Expressão 1 – Maria e José possuem juntos R$ 45.800,00
X + Y = 45.800,00
Expressão 2 – dobro do que possui Maria, adicionando com a metade do que possui José, é R$ 50.350,00
2X + y/2 = 50.350,00
Sistema
I) X + Y = 45.800,00
II) 2X + Y/2 = 50.350,00
Isolando o X na primeira expressão :
X = 45.000,00 – Y
Substituindo o X na segunda expressão:
2.(45.800,00 – Y) + Y/2 = 50.350,00
91.600,00 – 2Y + Y/2 = 50.350,00
-2Y + Y/2 = 50.350,00 – 91.600,00
-2Y + Y/2 = −41.250,00
(-4Y + y) /2 = −41.250,00
-4Y + y = 2 . (−41.250,00)
-3Y = −82.500,00 . (-1)
3Y = 82.500,00 . (-1)
Y = 82.500,00 / 3
Y = 27.500,00
Substituindo o Y na primeira expressão:
X + Y = 45.800,00
X + 27.500,00 = 45.800,00
X = 45.800,00 – 27.500,00
X = 18.300,00
Assim, Maria tem R$ 18.300,00 e José tem R$ 27.500,00.
2. Se ao dobro da idade de João, adicionarmos a minha idade, obteremos 64 anos. Sabe-se que João é 7 anos mais nova do que eu. Quais são nossas idades?
Solução
Vamos considerar a idade de João como sendo a variável X e a minha como sendo a variável Y.
Expressão 1 – Ao dobro da idade de João, adicionarmos a minha idade, obteremos 64 anos.
2X + Y = 64
Expressão 2 – João é 7 anos mais nova do que eu.
Y – X = 7
Sistema
I) 2X + Y = 64
II) Y – X = 7
Isolando o Y na primeira expressão:
Y = 64 – 2X
Substituindo o Y na segunda expressão:
Y – X = 7
(64 – 2X) – X = 7
64 – 3X = 7
-3X = 7 – 64
-3X = -57 .(-1)
3X = 57
X = 57/3
X = 19
Substituindo o X na segunda expressão:
Y – X = 7
Y – 19 = 7
Y = 7 + 19
Y = 26
Minha idade é 26 anos e a idade de João é 19 anos.
Conclusão
Aprendemos neste artigo o conceito de sistemas de equações.
Vimos duas situações-problema envolvendo esse tipo de assunto e como resolvê-los.
Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!
PS: Que tal aumentar seus conhecimento matemático estudando os produtos notáveis? Vamos lá?