Inequações do 2º grau e suas fórmulas gerais
As inequações do 2º grau na variável x são são todas as inequações que podem ser reduzidas às seguintes estruturas:
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c < 0
Onde a,b e c são números reais quaisquer, com a ≠ 0.
Resolvendo Inequações do 2º grau
A resolução de inequações do 2º grau envolve, inicialmente, o estudo do sinal da seguinte função:
y = ax2 + bx + c
Após a análise do sinal, devemos determinar os valores de x da função que satisfaçam alguns dos seguintes critérios:
y ≥ 0
y > 0
y ≤ 0
y < 0
Veremos a seguir 3 exemplos de inequações de 2º grau e suas respectivas resoluções.
1. Resolva a seguinte inequação x2 – 5x + 4 ≥ 0
Solução
Vamos começar estudando os sinais da inequação. Para isso devemos calcular os valores do delta e das raízes para esboçarmos o gráfico.
a = 1
b = -5
c = 4
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = (-5)2 – 4.1.4
Δ = 25 – 16
Δ = 9
Calculando a raiz de delta:
√Δ = √9 = +3 e -3
Valores de x
x = (-b + √Δ )/ 2.a
x = (-[-5] + 3)/ 2.1
x = (5+3)/2
x = 8/2
x = 4
x = (-b – √Δ )/ 2.a
x = (-[-5] – 3)/ 2.1
x = (5 – 3)/ 2
x = 2/ 2
x = 1
O gráfico da função ficou assim:
Como a inequação pede que y ≥ 0, devemos selecionar a região do plano cartesiano onde tal requisito seja atendido, ou seja, quando x ≥ 4 ou x ≤ 1.
S ={x ∈ ℜ | x ≥ 4 ou x ≤ 1 }
2. Resolva a seguinte inequação x2 – 4x + 4 > 0
Solução
Iniciando o estudo dos sinais da inequação:
a = 1
b = -4
c = 4
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = (-4)2 – 4.1.4
Δ = 16 – 16
Δ = 0
Como o Δ foi zero, só teremos uma raiz real.
Valor de x
x = (-b + √Δ )/ 2.a
x = (-[-4] + 0)/ 2.1
x = (4/2
x = 4/2
x = 2
x = 2
O gráfico da função ficou assim:
Como visto no gráfico, qualquer valor de x fará com que y > 0, com exceção do número 2, que está em cima da reta x e assim fará com que o valor de y seja igual a zero.
S ={x ∈ ℜ | x ≠ 2 }
3. Resolva a seguinte inequação 2x2 + x + 2 > 0
Solução
Iniciando o estudo dos sinais da inequação:
a = 2
b = 1
c = 2
Δ = b1 – 4.a.c
Δ = (1)2 – 4.2.1
Δ = 1 – 8
Δ = -7
Como o Δ foi negativo, não teremos raízes reais. Logo, a parábola não tocará o eixo x e terá concavidade para cima (a>0).
O gráfico da função ficou assim:
Como a inequação pede y >0, qualquer valor de x irá satisfazer essa condição.
S = ℜ
Conclusão
Aprendemos nesse artigo como é a estrutura típica de uma inequação de 2º grau. Vimos os requisitos necessários para resolvê-las e analisamos os gráficos de suas respectivas funções, utilizando 3 exemplos práticos.
Até o próximo artigo!
Sucesso e bons estudos!
Refrências
Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola