Inequações do 1º grau e suas fórmulas gerais

As inequações do 1º grau na variável x são todas as inequações que podem ser reduzidas às seguintes estruturas:

ax + b ≥ 0

ax + b > 0

ax + b ≤ 0

ax + b < 0

Onde a e b são números reais quaisquer, com a ≠ 0

Resolvendo Inequações do 1º grau

Para resolvermos essas inequações, devemos aplicar as propriedades da desigualdade, ou seja, devemos resolver como se fosse uma função de primeiro grau, porém, considerando o intervalo que satisfaça a desigualdade. Veremos a seguir dois exemplos práticos de como resolver uma inequação de 1º grau.

1.Resolver a inequação -3x + 12 ≥ 0 , considerando U = ℜ

Solução
-3x + 12 ≥ 0
-3x ≥ -12 . (-1)
3x ≤ 12
x ≤ 12/3
x ≤ 4

Assim, considerando o conjunto universo os números reais, os valores que satisfazem a inequação são os que x seja menor ou igual a 4.

S ={x ∈ ℜ | x ≤ 4 }

Importante
Ao multiplicarmos a inequação por (-1) além de invertermos o sinal, invertemos também a inequação, ou seja, o que era ≥, ao multiplicar por (-1) virou ≤.

2.Resolver a inequação 5x – 25 ≥ 0, considerando U = ℜ

Solução
5x – 25 ≥ 0
5x ≥ 25
x ≥ 25/5
x ≥ 5

Assim, considerando o conjunto universo os números reais, os valores que satisfazem a inequação são os que x seja maior ou igual a 5.

S ={x ∈ ℜ | x ≥ 5 }

Inequações em intervalos

Existem situações que a inequação envolvem um intervalo, como o exemplo que veremos a seguir.

Resolva a seguinte inequação 1 < 3x – 2 ≤ 10, considerando U = ℜ

Solução
Primeiramente iremos separar o intervalo em duas inequações:
I) 1 < 3x – 2
1 < 3x – 2
-3x < -2 – 1
-3x < -3 . (-1)
3x < 3 . (-1) x > 3/3
x > 1

II) 3x – 2 ≤ 10
3x – 2 ≤ 10
3x ≤ 10 + 2
3x ≤ 12
x ≤ 12/3
x ≤ 4

Agora juntaremos as soluções das duas inequações, buscando um intervalo em comum. Assim, a variável x na solução final deverá possuir valores maiores que 1 e menores o iguais a 4. Se fôssemos representar as soluções das duas inequações e a solução final teríamos a seguinte intersecção:

Importante
Repare que a “bolinha” aberta significa intervalo aberto, ou seja, sem a igualdade (>) e a “bolinha” fechada significa intervalo fechado, ou seja, com a igualdade (≤).

Conclusão

Aprendemos nesse artigo um pouco mais sobre as Inequações do 1º grau. Vimos como são suas estruturas básicas e resolvemos alguns exemplos envolvendo o conteúdo.

Refrências

Matemática – Volume 1 – Versão Beta – Edwaldo Bianchini; Herval Paccola